AB: Lektion Additionstheoreme (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Lektion Additionstheoreme, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Löse die folgenden Aufgaben zu den Additionstheoremen:
Wichtig: Nutze für die Sinus- und Kosinuswerte deren Bruchdarstellung. Zur Erinnerung:
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Winkel & Sinus & Kosinus \\ \hline 0° & \frac{\sqrt{0}}{2} & \frac{\sqrt{4}}{2} \\ \hline 30° & \frac{\sqrt{1}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \hline 45° & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \hline 60° & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{1}}{2} \\ \hline 90° & \frac{\sqrt{4}}{2} & \frac{\sqrt{0}}{2} \\ \hline \end{array} $$
Berechne sin(15°)
Hinweis: Bekannt seien sin(45°), sin(60°), sin(90°).
sin(15°) = sin(60° - 45°) | Additionstheorem
sin(15°) = sin(60°)cos(45°) - cos(60°)sin(45°)
sin(15°) = √3/2·√2/2 - \( \frac{1}{2} \)·√2/2
sin(15°) = √6/4 - √2/4
sin(15°) = \( \frac{1}{4} \)·(√6 - √2)
Berechne sin(135°)
Hinweis: Bekannt seien sin(45°), sin(60°), sin(90°).
sin(135°) = sin(90° + 45°) | Additionstheorem
sin(135°) = sin(90°)·cos(45°) + cos(90°)·sin(45°)
sin(135°) = 1·√2/2 + 0·√2/2
sin(135°) = √2/2
Berechne cos(375°)
Hinweis: Bekannt seien cos(45°), cos(60°), cos(90°).
cos(375°) = cos(360°+15°)
cos(375°) = cos(15°)
cos(375°) = cos(60° - 45°)
cos(375°) = cos(60°)cos(45°) + sin(60°)sin(45°)
cos(375°) = \( \frac{1}{2} \)·√2/2 + √3/2·√2/2
cos(375°) = √2/4 + √6/4
cos(375°) = \( \frac{1}{4} \)·(√2 + √6)
Berechne cos(105°)
Hinweis: Bekannt seien cos(45°), cos(60°), cos(90°).
cos(105°) = cos(60°+45°)
cos(105°) = cos(60°)cos(45°) - sin(60°)sin(45°)
cos(105°) = 1/2·√2/2 - √3/2·√2/2
cos(105°) = √2/4 - √6/4
cos(105°) = \( \frac{1}{4} \)·(√2 - √6)
Zeige die Richtigkeit von: sin(3·x) = 3·sin(x) - 4·sin³(x).
sin(3x) = sin(x+2x)
sin(3x) = sin(x)·cos(2x) + cos(x)·sin(2x) | Nochmaliges Anwenden der Additionstheoreme
sin(3x) = sin(x)·[cos(x)·cos(x) - sin(x)·sin(x)] + cos(x)·[sin(x)·cos(x) + cos(x)·sin(x)]
sin(3x) = sin(x)·cos²(x) - sin³(x) + sin(x)·cos²(x) + sin(x)·cos²(x)
sin(3x) = 3·sin(x)·cos²(x) - sin³(x) | Mit Pythagoras: cos²(x) = 1-sin²(x) (wir wollen den Kosinus beseitigen)
sin(3x) = 3·sin(x)·(1 - sin²(x)) - sin³(x)
sin(3x) = 3·sin(x) - 3·sin³(x) - sin³(x)
sin(3x) = 3·sin(x) - 4·sin³(x)