AB: Lektion Antiproportionalität
Hier findet ihr mehrere Aufgaben zur Antiproportionalität, die euch auf euren nächsten Test vorbereiten. Schreibt bei allen Aufgaben den Lösungsweg auf.
Welche der folgenden Situationen ist antiproportional?
Die Anzahl an A4-Papierseiten und die sich daraus ergebende Fläche.
Je mehr A4-Seiten wir haben, desto größer ist auch die Gesamtfläche.
→ direkt proportional
Die Reisezeit und die dabei zurückgelegte Strecke (bei gleichbleibender Geschwindigkeit).
Je länger die Strecke, desto mehr Zeit benötigen wir auch (bei gleichbleibender Geschwindigkeit).
→ direkt proportional
Die Reisezeit und die Geschwindigkeit des Zuges.
Je schneller der Zug, desto geringer die Reisezeit.
→ indirekt proportional
Die Einwohnerzahl eines Landes und die verfügbare Fläche je Person.
Je mehr Einwohner, desto weniger verfügbare Fläche je Person.
→ indirekt proportional
Die Anzahl der Arbeiter und die Zeit, um ein Gebäude zu errichten.
Je mehr Arbeiter, desto weniger Zeit wird benötigt, um ein Gebäude zu errichten.
→ indirekt proportional
Ermittelt die gesuchte Größe aus den vorliegenden Angaben.
Für eine Wand benötigen 4 Maurer insgesamt 10 Tage. Wie lange brauchen 2 Maurer?
4 Maurer · 10 Tage = 40 (Antiproportionalitätsfaktor)
40 : 2 Maurer = 20 Tage
Die selbe Wand wird von 4 Maurern jetzt nur 4 Tage gebaut, ab dem 5. Tag fehlen 2 Maurer wegen Krankheit. Wie lange dauert der Bau der Wand nun?
4 Maurer · 10 Tage = 40 (das "Arbeitsvolumen" aus Aufgabe 1)
4 Maurer · 4 Tage = 16 geleistet
2 Maurer · x Tage = Restarbeit
Restarbeit = 40 gesamt - 16 geleistet = 24
2 Maurer · x Tage = 24 (Restarbeit)
x = 24 : 2
x = 12 Tage
Gesamtzeit für den Bau:
4 Tage (mit 4 Maurern) + 12 Tage (mit 2 Maurern) = 16 Tage
Hinweis: Ihr könnt euch den Antiproportionalitätsfaktor (hier 40) einfach als 40 Ziegelsteine einer Wand vorstellen.
In 40 Pralinenschachteln passen jeweils 18 Pralinen. Wenn 20 Pralinen in jede Schachtel passen würden, wie viele Schachteln müssten dann gefüllt werden?
40 Schachteln · 18 Pralinen/Schachtel = 720 Pralinen
720 Pralinen : 20 Pralinen/Schachtel = 36 Schachteln
12 Maschinen in einer Fabrik werden genutzt, um 1.000 Mäntel in 18 Stunden zu produzieren. Wie viele Maschinen benötigen wir, wenn wir 1.000 Mäntel in 14 Stunden herstellen wollen?
12 Maschinen · 18 Stunden = 216 ("Maschinenstunden")
216 Maschinenstunden : 14 Stunden = 15,429 Maschinen
Antwort: Wir benötigen also 16 Maschinen, um die 1.000 Mäntel in 14 Stunden herstellen zu können.
In einer Schule sitzen die Schüler 7 Schulstunden (à 45 min). Wie lange wäre eine Schulstunde, wenn die Gesamtzeit statt in 7 in 9 Schulstunden eingeteilt würde.
7 Schulstunden · 45 min/Schulstunde = 315 min
315 min : 9 Schulstunden = 35 min/Schulstunde
Antwort: Jede Schulstunde wäre nur noch 35 min lang.
Kürzerer Rechenweg mit Hilfe einer Variablen:
7 Schulstunden · 45 min = 9 Schulstunden · x
x = 7 Schulstunden · 45 min : 9 Schulstunden
x = 35 min
Ein Fahrradfahrer braucht 4 Stunden von Heidelberg nach Heilbronn (Durchschnittsgeschwindigkeit 20 km/h). Wäre der Fahrradfahrer schneller gefahren (konstant 25 km/h), wie lange hätte die Fahrt dann gedauert?
4 Stunden · 20 km/Stunde = 80 km
80 km : 25 km/Stunde = 3,2 Stunden
Umwandlung der 3,2 Stunden in eine lesbare Zeit:
3,2 Stunden = 3 Stunden + 0,2 Stunden
= 3 Stunden + 0,2 Stunden·60 min
= 3 Stunden + 12 min
Antwort: Bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 25 km/h hätte der Fahrradfahrer 3 Stunden und 12 Minuten für die selbe Strecke benötigt.
Wir haben Plätzchen gebacken. Jeder unserer 6 Freunde würde 8 Plätzchen erhalten. 6 weitere Freunde kommen spontan noch dazu, wie viele Plätzchen bekommt jetzt jede Person?
6 Freunde · 8 Plätzchen/Freund = 48 Plätzchen
48 Plätzchen : 12 Freunde = 4 Plätzchen/Freund
Antwort: Bei 12 Personen erhält jeder 4 Plätzchen.
Kürzerer Rechenweg mit Hilfe einer Variablen:
6 Freunde · 8 Plätzchen/Freund = 12 Freunde · x
x = 6 Freunde · 8 Plätzchen/Freund : 12 Freunde
x = 4 Plätzchen/Freund
Eine Menge an 1.200 Bananen reicht etwa 5 Tage für eine Elefantenfamilie, die aus 6 Elefanten besteht.
1) Wie lange können sich die Elefanten von 600 Bananen ernähren?
2) Wie viele Tage reicht die Nahrung von 1.200 Bananen, wenn es nur 2 Elefanten sind?
Wenn 1.200 Bananen für 6 Elefanten genau 5 Tage reichen, dann muss man sich Folgendes überlegen:
- Je mehr Bananen wir haben, desto mehr Tage können die Elefanten davon leben (proportional).
- Je mehr Elefanten wir haben, desto weniger Tage reicht die Nahrung (indirekt proportional).
Lösung 8a:
Die Anzahl der Elefanten bleibt unverändert. Die Menge an Bananen sinkt von 1.200 auf 600 Stück. (Man rechnet also :2).
Sie können sich also weniger Tage davon ernähren (proportional). Das heißt, wir müssen die 5 Tage ebenfalls :2 dividieren und erhalten:
5 Tage : 2 = 2,5 Tage.
Antwortsatz: Die Elefanten können sich 2,5 Tage von 600 Bananen ernähren
Lösung 8b:
Die Anzahl der Elefanten sinkt von 6 auf 2 (man dividiert also :3). Die Menge an Bananen bleibt gleich. Da wir nun weniger Elefanten haben,
können sie sich länger von den Bananen ernähren (die Anzahl der Tage steigt also) (indirekt-proportional).
Anstatt nun die Tage :3 zu rechnen, müssen wir es andersherum tun. Wir multiplizieren mit ·3 und erhalten:
5 Tage · 3 = 15 Tage.
Antwortsatz: 2 Elefanten ernähren sich 15 Tage von 1.200 Bananen.