AB: Lektion Biquadratische Gleichungen (Teil 1)

Die Substitution z = x² führt zunächst auf die Gleichung:

\( x^4 - 10·x^2 + 9 = (x^2)^2 - 10·(x^2) + 9 = z^2 - 10·z + 9 \)

Das heißt das Problem wurde durch Substitution in eine bekannte Form (eine quadratische Gleichung) gebracht. Diese kann nun mit der p-q-Formel gelöst werden:

\( p = -10 \text{ und } q = 9 \\ z_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ z_{1,2} = -( \frac{-10}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-10}{2} )^{2} - 9} \\ z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 9} \\ z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{16} \\ z_{1,2} = 5 \pm 4 \\ z_1 = 5 + 4 = 9 \\ z_2 = 5 - 4 = 1 \)

Durch Rücksubstitution erhält man die vier reellen Lösungen:

\( x_{1,2} = ±\sqrt{z_1} \\ x_{3,4} = ±\sqrt{z_2} \\ x_1 = +\sqrt{z_1} = +\sqrt{9} = 3 \\ x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{9} = -3 \\ x_3 = +\sqrt{z_2} = +\sqrt{1} = 1 \\ x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{1} = -1 \)

Die Substitution z = x² führt zunächst auf die Gleichung:

\( x^4 - 13·x^2 + 36 = (x^2)^2 - 13·(x^2) + 36 = z^2 - 13·z + 36 \)

Das heißt das Problem wurde durch Substitution in eine bekannte Form (eine quadratische Gleichung) gebracht. Diese kann nun mit der p-q-Formel gelöst werden:

\( p = -13 \text{ und } q = 36 \\ z_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ z_{1,2} = -( \frac{-13}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-13}{2} )^{2} - 36} \\ z_{1,2} = 6,5 \pm \sqrt{42,25 - 36} \\ z_{1,2} = 6,5 \pm \sqrt{6,25} \\ z_{1,2} = 6,5 \pm 2,5 \\ z_1 = 6,5 + 2,5 = 9 \\ z_2 = 6,5 - 2,5 = 4 \)

Durch Rücksubstitution erhält man die vier reellen Lösungen:

\( x_{1,2} = ±\sqrt{z_1} \\ x_{3,4} = ±\sqrt{z_2} \\ x_1 = +\sqrt{z_1} = +\sqrt{9} = 3 \\ x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{9} = -3 \\ x_3 = +\sqrt{z_2} = +\sqrt{4} = 2 \\ x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{4} = -2 \)

Die Substitution z = x² führt zunächst auf die Gleichung:

\( x^4 + x^2 - 6 = (x^2)^2 + (x^2) - 6 = z^2 + z - 6 \)

Das heißt das Problem wurde durch Substitution in eine bekannte Form (eine quadratische Gleichung) gebracht. Diese kann nun mit der p-q-Formel gelöst werden:

\( p = 1 \text{ und } q = -6 \\ z_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ z_{1,2} = -( \frac{1}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{1}{2} )^{2} - (-6)} \\ z_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{0,25 + 6} \\ z_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{6,25} \\ z_{1,2} = -0,5 \pm 2,5 \\ z_1 = -0,5 + 2,5 = 2 \\ z_2 = -0,5 - 2,5 = -3 \)

Durch Rücksubstitution erhält man die vier reellen Lösungen:

\( x_{1,2} = ±\sqrt{z_1} \\ x_{3,4} = ±\sqrt{z_2} \\ x_1 = +\sqrt{z_1} = +\sqrt{2} \\ x_2 = -\sqrt{z_1} = -\sqrt{2} \\ x_3 = +\sqrt{z_2} = +\sqrt{-3} = \text{ nicht definiert } \\ x_4 = -\sqrt{z_2} = -\sqrt{-3} = \text{ nicht definiert } \)

Die Wurzel aus einem negativen Radikanden kann mit den Mitteln der Schulmathematik nicht berechnet werden, daher genügt es, "nicht definiert" (n. d.) anzugeben.

\( 5·x^4 - 80 = 0 \quad | +80 \\ 5·x^4 = 80 \quad | :5 \\ x^4 = 16 \\ x_1 = \sqrt[4]{16} = 2 \\ x_2 = -\sqrt[4]{16} = -2 \)

\( -2·x^4 + 162 = 0 \quad | -162 \\ -2·x^4 = -162 \quad | :(-2) \\ x^4 = 81 \\ x_1 = \sqrt[4]{81} = 3 \\ x_2 = -\sqrt[4]{81} = -3 \)

\( x_4 + 16 = 0 \quad | -16 \\ x^4 = -16 \\ x_{1,2} = ± \sqrt[4]{-16} \)

Wie bei der zweiten Wurzel \( \sqrt[2]{ \phantom{x} } \) (auch "Quadratwurzel") gibt es mit den Mitteln der Schulmathematik auch für vierte Wurzeln \( \sqrt[4]{ \phantom{x} } \) keine Lösung, wenn der Radikand negativ ist (bei der Aufgabe ist er -16). Dies gilt für alle Wurzeln mit geradem Wurzelexponenten (also auch für (\( \sqrt[6]{\phantom{x}} \), \( \sqrt[8]{\phantom{x}} \), \( \sqrt[10]{\phantom{x}} \)etc.).