AB: Lektion Biquadratische Gleichungen (Teil 2)

x⁴ - x² = (x² - 1)·x² = 0

Aus dieser Darstellung kann man am x² die doppelte Nullstelle x₁ = 0 ablesen.

Die beiden anderen Nullstellen ergeben sich durch Hinsehen oder mit Hilfe der p-q-Formel aus dem Term x² - 1 = 0 (p = 0, q = -1). Sie sind:

x₁ = 1
x₂ = -1

2·x⁴ - 8·x² = (2·x² - 8)·x² = 0
→ x1 = 0

2·x² - 8 = 0   | :2
x² - 4 = 0

Man sieht jetzt sehr leicht:

x² - 4 = 0   | +4
x² = 4   | ±√
x_2,3 = ±√4
x_2,3 = ±2

3·x⁴ - 27·x² = (3·x² - 27)·x² = 0
→ x1 = 0

3·x² - 27 = 0   | +27
3·x² = 27   | :3
x² = 9   | ±√
x_2,3 = ±√9
x_2,3 = ±3

Hier kann man mit der Mathematik nur eine einzige Nullstelle herausfinden:

x⁴ - 2·x³ - x² + 2·x = (x³ - 2·x² - x + 2)·x
→ x₁ = 0

Die übrigen Nullstellen, also die Nullstellen des Ausdrucks

x³ - 2·x² - x + 2 = 0

können einerseits alle glücklich geraten werden. Andererseits könnte man auch nur eine einzige dieser Nullstellen raten und sie mit Hilfe der Polynomdivision aus der Gleichung herausdividieren. (Im zweiten Schritt bliebe eine quadratische Gleichung übrig, für die die p-q-Formel zu den anderen Nullstellen führt.) Dies setzt natürlich voraus, dass man die Polynomdivision beherrscht. Die Nullstellen sind:

x₂ = 1
x₃ = -1
x₄ = 2

2·x⁴ - 3·x³ - 0,5·x² + \( \frac{3}{4} \)·x = (2·x³ - 3·x² - 0,5·x + \( \frac{3}{4} \))·x
→ x₁ = 0

Hier gilt das gleiche Vorgehen wie in Aufgabe a: Die Nullstellen können einerseits alle geraten werden oder es wird nur eine geraten und durch Polynomdivision wird die vorliegende Gleichung dritten Grades dann zu einer zweiten Grades reduziert. Die Nullstellen sind:

x₂ = \( \frac{1}{2} \) = 0,5
x₃ = -\( \frac{1}{2} \) = -0,5
x₄ = \( \frac{3}{2} \) = 1,5

Ein Funktionenplotter oder ein grafischer Taschenrechner helfen dabei, Nullstellen durch Ablesen zu ermitteln:

~plot~ 2*x^4-3*x^3-0,5*x^2+0,75*x;zoom[[-1.5|2.5|-3|3]] ~plot~