AB: Lektion Bruchgleichungen (Teil 1)
Nachfolgend findest du Aufgaben zu den Bruchgleichungen, mit denen du dein Wissen testen kannst.
Bestimme die Definitionsmenge.
\( \frac{3}{x-2} = \frac{7}{x-15} \)
Für x = 2 und x = 15 haben wir offensichtlich Probleme, denn dann würde sich 0 im Nenner ergeben. Diese müssen aus der Definitionsmenge herausgenommen werden: D = R\{2;15}
\( \frac{15647}{x^2-4} = \frac{12}{x+2} \)
Hier muss man die Nullstellen der Nenner erst noch bestimmen. Erkennt man bei ersterem die dritte binomische Formel fällt dies leicht: x²-4 = (x+2)(x-2). Die Faktoren der Nenner sind also x-2 und x+2. Folglich sind x = -2 und x = 2 problematisch. Sie sind aus der Definitionsmenge zu entfernen: D = R\{-2;2}.
\( \frac{x-2}{x-2} = \frac{1}{x} \)
Sofort abzulesen sind die Nennernullstellen. Dass sich die erste Nullstelle bei (x-2) wegkürzen würde, ist nicht von Belang, da immer die Definitionsmenge bezüglich der Ausgangsgleichung zu bestimmen ist! Es ergibt sich D = R\{0;2}.
\( \frac{12}{x-1} + \frac{13}{x-2} + \frac{14}{3x-6} = \frac{15}{10x-10} \)
Es müssen die Nennernullstellen bestimmt werden. Die ersten beiden sind offensichtlich mit x = 1 und x = 2. Beim dritten Nenner haben wir 3x-6 = 3·(x-2) und damit ebenfalls x = 2. Für den Nenner der rechten Seite haben wir 10x-10 = 10·(x-1) was zu x = 1 führt. Wir haben also nur zwei Werte für x, die nicht verwendet werden dürfen. Die Definitionsmenge ist D = R\{1;2}.
\( \frac{1}{x} + \frac{10}{10x} - \frac{147}{147,5x} = \frac{12,34}{145,147x} \)
Im Nenner haben wir überall nur den Faktor x. Das heißt es darf generell x = 0 nicht verwendet werden, was zu D = R\{0} führt.