AB: Lektion Bruchgleichungen (Teil 3)

a)

$ \frac{2}{x^2-x} + \frac{3}{4-4x} = \frac{1}{2x} $

Bevor man sich an die Bestimmung der Definitionsmenge macht, sollte man die Nenner erst einmal faktorisieren. Das erleichtert das Bestimmen der Nullstellen der Nenner sowie das Finden des Hauptnenners.

1. x²-x = x·(x-1)
2. 4-4x = 4·(1-x) = -4·(x-1)
3. 2x = 2·x

Hier kann man die Nullstellen nun direkt ablesen. Diese sind x = 1 und x = 0. Es ist also D = R\{0;1}. Für das Ablesen des Hauptnenners kann obige faktorisierte Form ebenfalls herangezogen werden. Es ist der Hauptnenner -4·x·(x-1). Auf diesen müssen wir alle Brüche erweitern, danach multiplizieren wir die Gleichung mit dem Hauptnenner. Wir erhalten:

$ \frac{2}{x^2-x} + \frac{3}{4-4x} = \frac{1}{2x} \\ \frac{2}{x·(x-1)} + \frac{3}{-4·(x-1)} = \frac{1}{2x} \\ \frac{2·(-4)}{-4·x·(x-1)} + \frac{3·x}{-4x·(x-1)} = \frac{-2·(x-1)}{-4x·(x-1)} \quad | ·(-4x·(x-1)) \\ -8 + 3x = -2x + 2 \quad | +2x +8 \\ 5·x = 10 \quad | :5 \\ x = 2 $

Die Lösungsmenge kann also mit L = {2} angegeben werden.

b)

$ \frac{2}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{24}{x^2-9} $

Beim Rechtsterm sollte man die dritte binomische Formel erkennen und x²-9 = (x+3)·(x-3) schreiben. Dann lässt sich die Definitionsmenge ablesen mit D = R\{-3;3}. Weiterhin ist der Hauptnenner mit x²-9 zu erkennen und das führt zu:

$$ \frac{2}{x-3} + \frac{2}{x+3} = \frac{24}{x^2-9} \\ \frac{2·(x+3)}{x^2-9} + \frac{2·(x-3)}{x^2-9} = \frac{24}{x^2-9} \quad | ·(x^2-9) \\ 2·(x+3) + 2·(x-3) = 24 \\ 2x + 6 + 2x - 6 = 24 \\ 4x = 24 \quad | :4 \\ x = 6 $$

Dieser Wert ist laut Definitionsmenge erlaubt und die Lösungsmenge ist L = {6}.

c)

$ \frac{x}{x^2-4x} = 2 $

Die Definitionsmenge ist zu erkennen, wenn man x²-4x faktorisiert, was x·(x-4) ergibt. Also D = R\{0;4}. Da es nur einen Nenner gibt, ist dies auch der Hauptnenner.

$$ \frac{x}{x^2-4x} = 2 \\ \frac{x}{x^2-4x} = \frac{2·(x^2-4x)}{x^2-4x} \\ x = 2x^2 - 8x \quad |-x \\ 2x^2 - 9x = 0 \\ x·(2x - 9) = 0 $$

Das kann man nun faktorweise anschauen: x₁ = 0 und 2x-9 = 0 daraus folgt x₂ = 4,5. Das x₁ = 0 ist laut Definitionsmenge nicht erlaubt. Wir haben deshalb nur x = 4,5 und die Lösungsmenge ist L = {4,5}.

d)

$ \frac{x-2}{x^2-4} = \frac{x+2}{x^2+4x+4} $

Die Nenner sind zu faktorisieren:
x²-4 = (x-2)·(x+2), da dritte binomische Formel
x²+4x+4 = (x+2)², da erste binomische Formel

Die Definitionsmenge ist demnach D = R\{-2;2}. Da wir die Nenner faktorisiert haben, können wir erkennen, dass man die Brüche vereinfachen kann, bevor man sich an den Hauptnenner macht. Tun wir das:

$$ \frac{x-2}{x^2-4} = \frac{x+2}{x^2+4x+4} \\ \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{(x+2)^2} \\ \frac{1}{x+2} = \frac{1}{x+2} $$

Hier brauchen wir nicht weiterzumachen. Beide Seiten sind identisch, zumindest solange x ≠ -2 und x ≠ 2 ist, wie es die Definitionsmenge verbietet. Wir schreiben als L = D oder L = R\{-2;2}. Mit anderen Worten, wir können für x alle beliebigen Werte (außer 2 und -2) einsetzen und die Gleichung stimmt immer.

e)

$ \frac{6}{4x^2+12x+9} + \frac{4x}{2x+3} = 2 $

Auch hier faktorisieren wir wieder. Dabei vermuten wir, dass der Aufgabensteller die Aufgabe so gewählt hat, dass 4x²+12x+9 den Faktor 2x+3 besitzt. Probieren wir das doch mal, indem wir die erste binomische Formel anwenden:

(2x+3)² = 4x² + 2·2x·3 + 9 = 4x² + 12x + 9

In der Tat lässt sich der erste Summand mit Hilfe der binomischen Formel umschreiben. Hätte man dies nicht erkannt, hätte man nicht den Hauptnenner, sondern einen gemeinsamen Nenner gebildet. Hier hätte sich dann (4x²+12x+9)·(2x+3) angeboten, was die Rechnung aufwändiger gemacht hätte.

Mit der Faktorisierung des Nenners können wir die Definitionsmenge u D = R\{-1,5} bestimmen. Der Hauptnenner ist (2x+3)².

Wir haben damit:

$$ \frac{6}{4x^2+12x+9} + \frac{4x}{2x+3} = 2 \\ \frac{6}{(2x+3)^2} + \frac{4x·(2x+3)}{(2x+3)^2} = \frac{2·(2x+3)^2}{(2x+3)^2} \quad | ·(2x+3)^2 \\ 6 + 4x·(2x+3) = 2·(2x+3)^2 \\ 6 + 8x^2 + 12x = 2·(4x^2 + 12x + 9) \\ 6 + 8x^2 + 12x = 8x^2 + 24x + 18 \quad | -8x²-12x-18 \\ 12x = -12 \\ x = -1 $$

Es ergibt sich die Lösungsmenge L = {-1}.