AB: Lektion Definitionsbereich einer Funktion (Teil 2)
Nachfolgend findest du Aufgaben zur Lektion „Definitionsbereich“, mit denen du dein Wissen testen kannst.
Bestimme den Definitionsbereich (Logarithmus):
\( f(x) = \ln(72,3) \)
Beim Logarithmus ist darauf zu achten, dass der Numerus stets größer 0 ist. Da hier im Numerus überhaupt kein x auftaucht, ist \( x ∈ ℝ \).
\( g(x) = \ln(3x-5) \)
Es ist \( 3 x-5>0 \)
\( 3 x \gt 5 \)
\( x \gt \frac{5}{3} \)
Damit also \( D=\left\{x \in \mathbb{R} \mid x>\frac{5}{3}\right\} \)
\( h(x) = \ln(4x^2-49) \)
Auch hier gilt \( 4 x^{2}-49>0 \)
Hier kann man die dritte binomische Formel erkennen:
\( (2 x-7)(2 x+7)>0 \)
Die Nullstellen sind direkt mit \( x = -3,5 \) und \( x = 3,5 \) abzulesen. Es gilt nun herauszufinden, ob das Intervall zwischen oder außerhalb der Nullstellen gesucht ist. Man macht eine Punktprobe mit bspw. \( x = 0 \).
\( (2 · 0 - 7) · (2 · 0 + 7) \gt 0 \\ -49 \gt 0 \)
Diese Aussage trifft nicht zu, das von uns gesuchte Intervall ist also außerhalb der Nullstellen.
Damit: \( D=\{x \in \mathbb{R} \mid x \lt 3,5 \vee x \gt 3,5\} \)
\( k(x) = \ln(x^2-a)x+35) \)
Man nutze die pq-Formel um die Nullstellen des Numerus zu bestimmen.
\( x^{2}-12 x+35 = 0 \\ x_{1} = 5 \\ x_{2} = 7 \)
Wiederum eine Punktprobe mit \( x = 0 \):
\( 0^{2}-12 \cdot 0+35=35>0 \)
Wir brauchen also wieder das Intervall außerhalb.
\( D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \lt 5 \vee x \gt 7 \} \)
\( m(x) = \ln(x^4) \)
Es ist \( x^{4}>0 \) zu wählen und damit
\( D=x \in \mathbb{R}^{+} \)
Bestimme den Definitionsbereich (gebrochen-rationale Funktionen). Gib auch an, ob eine hebbare Definitionslücke vorliegt.
\( f(x) = \frac{3x}{x-7} \)
Die Problemstelle ist der Nenner. Sie ist hebbar, wenn die Nullstelle auch im Zähler zu finden ist und sich kürzen lässt.
Nennernullstelle: \( x=7 \)
Folglich \( D = x \in \mathbb{R} \backslash \{ 7 \} \)
Die Zählernullstelle ist \( x = 0 \). Lässt sich also nicht wegheben.
\( g(x) = \frac{7x+7}{x^2-4} \)
Die Nennernullstellen sind \( x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0 \) und damit \( x_{1}=-2 \) sowie \( x_{2}=2 \).
Folglich \( D = x \in \mathbb{R} \backslash\{ -2 ; 2 \} \)
Die Zählernullstelle ist \( x = -1 \). Lässt sich also nicht wegheben.
\( h(x) = \frac{x^2-4}{x+2} \)
Der Nenner hat die Nullstelle \( x=-2 \) und ist damit eine Problemstelle.
Wir haben den Definitionsbereich zu wählen als \( D = x \in \mathbb{R} \backslash \{ -2 \} \).
Bei genauerer Betrachtung ist der Zähler aber zu schreiben als \( (x-2)(x+2) \), hat also unter anderem die selbe Nullstelle. So kann man kürzen und schreiben \( h(x) = x - 2 \).
Bei \( x = -2 \) haben wir eine hebbare Definitionslücke.
\( k(x) = \frac{x^3-x}{x^2+x-2} \)
Mit der pq-Formel ergeben sich die Nullstellen zu \( x_{1}=-2 \) und \( x_{2}=1 \).
Der Definitionsbereich ist dann \( x \in \mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\} \)
Der Zähler lässt sich mit Ausklammern und binomischer Formel ausdrücken als:
\( x^{3}-x=x \cdot\left(x^{2}-1\right)=x \cdot(x-1) \cdot(x+1) \).
Die Nullstellen sind dann \( x_{3}=0, x_{4}=-1 \) und \( x_{5}=1 \).
Da \( x_{2}=x_{5} \) ist, haben wir eine hebbare Definitionslücke.
Unter Berücksichtigung des obigen Definitionsbereichs kann man das ausdrücken als:
\( k(x)=\frac{x(x+1)}{x+2} \)
\( m(x) = \frac{x^2+7}{x^2-49} \)
Mit der binomischen Formel ergibt sich der Nenner zu \( x^{2}-49=(x-7)(x+7) \) und die Nullstellen ergeben sich zu \( x_{1}=-7 \) und \( x_{2}=7 \).