AB: Parameteraufgaben

1.

f hat ein lokales Extremum in $ P(-2|\frac{16}{9}) $, ein weiteres an der Stelle $ x_E = 2 $. Der Wendepunkt von f liegt im Koordinatenursprung. Gesucht ist die Funktionsgleichung von f.

$$ f(x) = \frac{1}{9}x^3 - \frac{4}{3}x $$

2.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung und hat einen Hochpunkt in P(4|4) . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

$$ f(x) = -\frac{1}{32}x^3 + \frac{3}{2}x $$

3.

Eine zur Ordinatenachse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in $ P(\sqrt{3}|2) $ einen Extrempunkt und schneidet die Abszissenachse an der Stelle 3. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

$$ f(x) = -\frac{1}{18}x^4 + \frac{1}{3}x^2 + \frac{3}{2} $$

4.

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Koordinatenursprung einen Wendepunkt und die x-Achse als Wendetangente. Die Gerade mit der Gleichung y = 2x - 3 schneidet f an den Stellen -3 und 3. Gesucht ist die Funktionsgleichung.

$$ f(x) = -\frac{1}{27}x^4 + \frac{2}{9}x^3 $$

5.

Stellen Sie die Parabel dritter Ordnung auf, die durch P(0|2) mit der Steigung 4 geht und an den Stellen -2 und 2 eine horizontale Tangente hat.

$$ f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 4x + 2 $$

6.

Stellen Sie die Gleichung der Parabel 3. Ordnung auf, die die Gerade mit der Gleichung $ y_1 = 5x - 4 $ an der Stelle 1 und die Gerade mit der Gleichung $ y_2 = 17x + 29 $ an der Stelle -2 berührt.

$$ f(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 1 $$

7.

Die Funktion f hat an der Stelle $ x_0 = 1 $ eine doppelte Nullstelle. Die Tangente an der Stelle $ x_0 = 1 $ schneidet f an der Stelle $ x_1 = 3 $. In $ \left( \frac{5}{3} | -\frac{16}{27} \right) $ ändert f ihr Krümmungsverhalten. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f. f ist eine Funktion dritten Grades.

$$ f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 3 $$

8.

Die Funktion f ist zu P(0|2) punktsymmetrisch. Dort wird f von einer Geraden g mit $ g(x) = \frac{3}{4}x + 2 $ geschnitten. g und die Tangente t an f in P verlaufen senkrecht zueinander. Von f ist noch bekannt, dass ihr Anstieg an der Stelle 3 mit $ \frac{5}{3} $ angegeben wird. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

$$ f(0) = 2, f''(0) = 0, f'(0) = -\frac{4}{3}, f'(3) = \frac{5}{3} → f(x) = \frac{1}{9}x^3 - \frac{4}{3}x + 2 $$

9.

Gesucht ist die Gleichung einer Funktion 3. Grades. Diese F unkt1on f hat nut der Funktion g mit $ g(x) = \frac{1}{8}x^4 - x $ zwei Nullstellen gemeinsam. Die positive Nullstelle ist Wendestelle von f. In dem anderen gemeinsamen Schnittpunkt schneidet der Graph von f den Graphen von g rechtwinklig.

$$ g(0) = f(0) = 0, g(2) = f(2) = 0, f''(2) = 0, f'(0) = 1 → f(x) = \frac{1}{8}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + x $$

10.

Von einer Funktion 4. Grades ist Folgendes bekannt:
- Die Tangente t an f im Punkt P(2|6) hat die Steigung Null.
- Eine zu t parallele Gerade g schneidet f auf der y-Achse. g geht aus t durch Verschiebung um $ \frac{8}{3} $ in negative y-Richtung hervor.
- In P ändert f das Krümmungsverhalten und wechselt an der Stelle $ x = -\frac{5}{2} $ von einer monoton fallenden Funktion in eine monoton steigende Funktion.
Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion.

$$ f(2) = 6, f'(2) = 0, f(0) = \frac{10}{3}, f''(2) = 0, f'(-\frac{5}{2}) = 0 → f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{1}{6}x^3 - x^2 + \frac{10}{3}x + \frac{10}{3} $$