AB: Lektion Differentialrechnung (Teil 6)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Differentialrechnung, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Bestimme die Ableitung mit der Quotientenregel:
Regel: \( f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\to f'(x) = \frac{g'(x)\cdot h(x) - g(x)\cdot h(x)}{h^2(x)} \)
\( f(x) = \frac{e^x}{x^2} \)
\( f'(x) = \frac{x^2\cdot e^x - 2x\cdot e^x}{(x^2)^2} = \frac{x\cdot e^x\cdot(x - 2)}{x^4} \)
\( f(x) = \frac{ln(x)}{e^x} \)
\( f'(x) = \frac{\frac1x\cdot e^x - \ln(x)\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x\cdot\left(\frac1x - \ln(x)\right)}{e^{2x}} \)
\( f(x) = \frac{\sin(x)}{e^x} \)
\( f'(x) = \frac{\cos(x)\cdot e^x - sin(x)\cdot e^x}{(e^x)^2} = \frac{e^x\cdot(\cos(x)- sin(x)}{e^{2x}} \)
\( f(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
\( f'(x) = \frac{\cos(x)\cdot\cos(x) - \sin(x)\cdot(-\sin(x))}{\cos^2(x)} = \frac{\cos^2(x) +\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} \)
Wir haben hier den trigonometrischen Pythagoras mit sin²(x) + cos²(x) = 1 verwendet. Zudem ist f(x) = sin(x)/cos(x) = tan(x) und wir können unser Ergebnis anhand der Tabelle überprüfen (wir haben also ganz nebenher die Ableitung des Tangens hergeleitet).
\( f(x) = \frac{x^3}{x^2} \)
f’(x) = 1
Man kürzt bevor man ableitet. Das vereinfacht die Ableitung gewaltig. Man braucht keine Quotientenregel mehr anzuwenden. Kann zur Übung dennoch gemacht werden.