AB: Lektion Exponentialgleichungen (Teil 2)

Dies lässt sich nun nicht mit dem Logarithmus vereinfachen. Du brauchst hierzu die Möglichkeiten der Substitution. Dafür ist zu erkennen, dass 3^x durch u ersetzt werden kann und so eine quadratische Gleichung gebildet wird:

3^2x - 2 · 3^x + 1 = 0   | Umformen zu 3^x

3^x·2 - 2·3^x + 1 = 0

(3^x)² - 2·(3^x) + 1 = 0   | Anwenden: 3^x = u

u² - 2·u + 1 = 0   | 2. Binomische Formel erkennen

(u - 1)² = 0

u_1,2 = 1

Nun haben wir das quadratische Problem um u gelöst. Doch sind wir an x interessiert. Es folgt die Resubstitution:

3^x = u = 1

3^x = 1   | log

log(3^x) = log(1)

log(3^x) = 0

x · log(3) = 0

x = 0

Eine Probe bestätigt das Ergebnis.

5^3x - 2 · 5^2x + 5^x = 0

Klammern wir erstmal 5^x aus. Dieser Faktor ist in jedem Element des Linksterms enthalten.

5^3x - 2 · 5^2x + 5^x = 0

5^x+2x - 2 · 5^x+x + 5^x = 0

5^x·5^2x - 2 · 5^x·5^x + 5 ^x·1 = 0

5^x · (5^2x - 2·5^x + 1) = 0

Nun erkennen wir sofort, dass wir das Problem faktorweise lösen können. 5 ^x = 0 bietet dabei keine Lösung, da eine Potenzfunktion nie 0 wird. Was aber ist mit der Klammer:

5^2x - 2·5^x + 1 = 0   | 5^x = u

u² - 2·u + 1 = 0   | 2. Binomische Formel erkennen

(u - 1)² = 0

u_1,2 = 1

Resubstitution:

5^x = u = 1

5^x = 1   | a⁰ = 1, Exponent muss 0 sein

x = 0

Eine Probe bestätigt das Ergebnis.

(2²)^(3x) - 16 · 2^3x + 64 = 0

2^2·(3x) - 16 · 2^3x + 64 = 0   | Umformen zu 2^3x

(2^3x)² - 16 · 2^3x + 64 = 0   | 2^3x = u

u² - 16·u + 64 = 0   | 2. Binomische Formel

(u - 8)² = 0

u_1,2 = 8

Resubstitution:

2^3x = 8 = 2³   | Exponentenvergleich

x = 1

Eine Probe bestätigt das Ergebnis.

- \( \frac{3}{4} \) · 3^-2x + 5 = 3^-x   | -3^-x

- \( \frac{3}{4} \) · 3^-2x - 3^-x + 5 = 0   | 3^-x = u

- \( \frac{3}{4} \)·u² - u + 5 = 0   | ·(-\( \frac{4}{3} \))

u² + \( \frac{4}{3} \)·u - \( \frac{4}{3} \)·5 = 0

u² + \( \frac{4}{3} \)·u - \( \frac{20}{3} \) = 0   | p-q-Formel anwenden

u₁ = - \( \frac{10}{3} \) und u₂ = 2

Die erste Lösung u₁ der quadratischen Gleichung ist nicht von Interesse, da eine Potenzfunktion nie negativ wird. Die zweite Lösung hingegen muss resubstituiert werden.

3^-x = u = 2   | log

log(3^-x) = log(2)

-x·log(3) = log(2)   | :(-log(3))

x = -\( \frac{\log(2)}{\log(3)} \)

x ≈ - 0,631

Eine Probe bestätigt das Ergebnis.

3^2x - 4·3^x + 3 = 0   | 3^x = u

u² - 4·u + 3 = 0   | p-q-Formel

u₁ = 1 und u₂ = 3

Resubstitution:

Mit u₁:
3^x = 1
x₁ = 0

Mit u₂:
3^x = 3   | Exponentenvergleich
3^x = 3¹

x = 1

Wir haben diesmal also zwei Lösungen. Beide werden durch Probe bestätigt.

2^2x - 3·2^x+1 = -8   | +8

2^2x - 3·2^x·2 + 8 = 0   | 2^x = u

u² - 6·u + 8 = 0   | p-q-Formel

u₁ = 2 und u₂ = 4

Resubstitution mit u₁:
u₁ = 2
2^x = 2   | Exponentenvergleich
x = 1

Resubstitution mit u₂:
u₂ = 4
2^x = 4
2^x = 2²   | Exponentenverlgeich
x = 2

5^2x + 5^x - 30 = 0   | 5^x = u

u² + u - 30 = 0   | p-q-Formel

u₁ = -6 und u₂ = 5

Die erste Lösung braucht nicht betrachtet zu werden, da sie negativ ist. Die zweite Lösung resubstituieren wir:

u₂ = 5
5^x = 5   | Exponentenvergleich
x = 1

2^2x - 13·2^x + 40 = 0   | 2^x = u

u² - 13·u + 40 = 0   | p-q-Formel

u₁ = 5 und u₂ = 8

Resubstitution mit u₁:
2^x = 5   | log
x·log(2) = log(5)   | :log(2)
x₁ = \( \frac{\log(5)}{\log(2)} \)
x₁ ≈ 2,322

Resubstitution mit u₂:
2^x = 8
2^x = 2³   | Exponentenvergleich
x₂ = 3

Eine Probe liefert nur x₂ = 3 als Ergebnis. Das andere Ergebnis x₁ entfällt.

Die Aufgabe ist deutlich komplizierter als die bisherigen. Hier muss man es schaffen, durch mehrere Umformungen nur noch eine Potenz zu erzeugen. Man benötigt insbesondere das Wissen über die Potenzgesetze.

8 · 9^x-3 + 4^x-3 = 3^2x-4

8 · 9^x-3 + 4^x-3 = 3^2(x-2)

8 · 9^x-3 + 4^x-3 = 9^x-2    | :9^x-3

8 + \( \frac{4^{x-3}}{9^{x-3}} \) = \( \frac{9^{x-2}}{9^{x-3}} \)    | mit \( \frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x \) 

8 + \( (\frac{4}{9})^{x-3} \) = \( \frac{9^{x-2}}{9^{x-3}} \)      | \( \frac{9^{x-2}}{9^{x-3}} \) = 9^(x-2)-(x-3) = 9^x-2-x+3 = 9¹ = 9

8 + \( (\frac{4}{9})^{x-3} \) = 9      | -8

\( (\frac{4}{9})^{x-3} \) = 1

Überlegung: Eins kommt nur heraus, wenn der Exponent 0 ist:

x - 3 = 0
x = 3

Die Aufgabe ist also für x = 3 gelöst. Bestätigung des Ergebnisses durch Probe.

8 · 9^x-3 + 4^x-3 = 3^2x-4    | x=3

8 · 9^3-3 + 4^3-3 = 3^2·3-4

8 · 9⁰ + 4⁰ = 3²

8 · 1 + 1 = 3²

8 + 1 = 9

1) In welcher Zeit verdoppelt sich das Kapital?

Das Kapital wird beschrieben durch die Zinseszinsformel K(n) = K₀·(1+p)ⁿ bzw. wenn man (1+p) als a schreibt durch K(n) = K₀·aⁿ. Dabei ist der Zinssatz a = 1,04 und n die Laufzeit. K(n) ist das Guthaben nach n Jahren und K₀ das Startkapital. Das Startkapital soll nun verdoppelt werden:

K(n) = 2·K₀

Nun in der allgemeinen Formeln für K(n) das 2·K₀ einsetzen:

K(n) = K₀·aⁿ
2·K₀ = K₀·aⁿ

Und lösen:

2·K₀ = K₀ · 1,04ⁿ   | :K₀
2 = 1,04ⁿ   | log
log(2) = log(1,04ⁿ)
n·log(1,04) = log(2)   | :log(1,04)
n =\( \frac{ \log(2) }{ \log(1,04) } \)
n ≈ 17,67

Antwort: Es braucht knapp 18 Jahre, bis man das Startkapital verdoppelt hat.

2) Ist die Verdopplungszeit abhängig vom Anfangskapital?

Wie in der Rechnung zu sehen, kürzt sich das Startkapital heraus. Die Verdopplungszeit ist also unabhängig vom Anfangskapital. Sie beträgt:

2·K₀ = K₀ · 1,04ⁿ   | :K₀
2 = 1,04ⁿ

Wenn wir jetzt noch die 1,04 mit a ersetzen:  2 = aⁿ

Hier kann man ein wenig probieren und sich daraus Überlegungen anstellen, wie man eine Gleichung aufstellen könnte. Wenn man das Papier immer wieder faltet, verdoppeln sich die Schichtfolgen. Wir haben also schon mal 2·2·2·…·2 = 2ⁿ zu berücksichtigen. Jedes Papier ist nun 0,3 mm dick, das muss mit der Anzahl der Schichten multipliziert werden. Dies soll nun so hoch sein wie der Berliner Fernsehturm: 368 m = 36 800 cm = 368 000 mm. Die Gleichung sieht dann so aus:

0,3 · 2ⁿ = 368000     | :0,3

2ⁿ = \( \frac{368000}{0,3} \)

2ⁿ = \( \frac{3680000}{3} \)    | log

log(2ⁿ) = \( \log(\frac{3680000}{3}) \)

n · log(2) = \( \log(\frac{3680000}{3}) \)     | :log(2)

n = \( \log(\frac{3680000}{3}) \) : log(2)

n ≈ 20,23

Antwort: Beim 21sten Falten hat man die Höhe des Fernsehturms erreicht.

Wie wir aus der Lösung zur Aufgabe 2 b wissen, ergibt sich die Verdopplungszeit mit 2 = aⁿ, wobei n die Zeit ist. Wir wissen aus der Aufgabe, dass dies nach 30 min = 0,5 h stattfindet, so können wir also a berechnen:

2 = a^0,5        | Quadrieren ()²
2² = (a^0,5)²
a = 4

Die Funktionsgleichung allgemein lautet B(t) = B₀ · a^t, wobei B für die Menge der Bakterien steht. Alle Unbekannten sind nun bekannt und die Fragestellung kann beantwortet werden.

B(t) = B₀ · a^t
B(24) = 100 · 4²⁴
B(24) ≈ 2,8 · 10¹⁶

Antwort: Nach einem Tag hat sich die Population zu einer beachtlichen Größe von 2,8 · 10¹⁶ entwickelt.