AB: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (3)
Rechtwinklige Dreiecke an einem rechtwinkligen Dreieck: Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ABC seien die Hypotenusen dreier zu ABC ähnlicher, rechtwinkliger Dreiecke (siehe Abbildung).
Zeigen Sie ohne Verwendung des Satzes von Pythagoras, dass die Summe der Flächen der Dreiecke über den Katheten AC und BC gleich der Fläche des Dreiecks über der Hypotenuse AB ist.
Spiegeln Sie die hellgrauen Dreiecke an den Katheten, dann entsteht das weiße Dreieck, das kongruent zum dunkelgrauen Dreieck ist.
Beweisen Sie mit dem Ergebnis von a) den Satz des Pythagoras.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt \( \frac{ { {h_a} } }{a} = \frac{ { {h_c} } }{c} \) und folglich (1) \( h_a = \frac{h_c·a}{c} \). Aus dem gleichen Grunde gilt \( \frac{ { {h_b} } }{b} = \frac{ { {h_c} } }{c} \) und folglich (2) \( h_b = \frac{h_c·b}{c} \). Außerdem gilt \( \frac{a·h_a}{2} + \frac{b·h_b}{2} = \frac{c·h_c}{2} \) und folglich (3) \( a·h_a + b·h_b = c·h_c \).
(1) und (2) in (3) eingesetzt ergibt \( a^2·\frac{h_c}{c} + b^2·\frac{h_c}{c} = c·h_c \). Durchmultiplizieren mit \( \frac{c}{h_c} \) ergibt a² + b² = c².
Ein besonderer Punkt im Dreieck: Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Kathetenlängen 6 cm und 8 cm.
Gesucht ist ein Punkt P, sodass die Dreiecke ABP, BCP und CAP den gleichen Flächeninhalt haben. Welche Abstände hat dieser Punkt P von den drei Seiten des gegebenen Dreiecks?
Siehe zuerst Lösung bei c), dann:
\( x = \frac{8}{3} \), \( y = 2 \) und \( z = \frac{6·8}{3·\sqrt{6^2+8^2}} = 1,6 \)
Bestätigen Sie: Die Kehrwerte der unter a) ermittelten Abstände sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.
\( 1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5} \) und \( {\left( {\frac{3}{8} } \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2} } \right)^2} = {\left( {\frac{5}{8} } \right)^2} \)
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit beliebigen Kathetenlängen. Gesucht ist ein Punkt P, sodass die Dreiecke ABP, BCP und CAP den gleichen Flächeninhalt haben. Zeigen Sie: Die Kehrwerte der Abstände von P zu den Seiten sind die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks.
Aufgabenteil c) ist die Verallgemeinerung von a) und b) und wird daher zuerst gelöst. a und b seien die Katheten und \( c = \sqrt { {a^2} + {b^2} } \) sei die Hypotenuse. Dann ist die Gesamtfläche \( F = \frac{a·b}{2} \) und die Einzelfläche \( f = \frac{a·b}{6} \). x, y bzw. z seien die Höhen auf a, b bzw. c. Dann ist \( \frac{a·x}{2} = \frac{a·b}{6} \) oder \( x = \frac{b}{3} \). Entsprechend ist \( y = \frac{a}{3} \) und \( z·c = \frac{a·b}{3} \) oder \( z = \frac{a·b}{3·\sqrt{a^2 + b^2}} \).
Zu zeigen ist \( \left( \frac{3}{b} \right)^2 + \left( \frac{3}{a} \right)^2 = \left( \frac{3·\sqrt{a^2+b^2}}{a·b} \right)^2 \) oder \( \frac{9}{a^2} + \frac{9}{b^2} = \frac{9·(a^2+b^2)}{a^2·b^2} \), was sich nach Division durch 9 und Addition der Brüche zeigen lässt.
Teppichboden: Ein rechteckiger Raum mit der Länge 7 m und der Breite 6 m soll mit Teppichboden ausgelegt werden, der in einem Stück und aufgerollt angeliefert wird (also als „Läufer"/ als langes Rechteck). Der Teppichboden wird so verlegt, wie die Skizze zeigt, und es werden nur 5 gerade Schnitte entlang der Raumwände erforderlich. Wie lang und wie breit ist das angelieferte Teppichstück, wenn keine Reste bleiben?
Die Abbildung zeigt die Schnittlinien 1 bis 5 sowie die Zusammensetzung der entstandenen 6 Einzelstücke. Eines der Einzelstücke (in der Abbildung unten) zeigt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten der Längen 6 und \( \frac{7}{4} \). Dann ist die Hypotenuse \( \sqrt { {6^2} + { {\left( {\frac{7}{4} } \right)}^2} } = 6,25 \). Aus der Fläche 5,25 und der Grundseite 6,25 dieses Dreiecks lässt sich seine Höhe (Breite der Teppichrolle) h=1,68 und dann aus der Zimmerfläche 42 und der Teppichbreite die Teppichlänge 25 bestimmen (alle Angaben in m).
Pythagoras und Sekanten-Tangentensatz: Gegeben sind ein Kreis um den Punkt M und ein Punkt P außerhalb des Kreises. Die Sekante durch P schneidet den Kreis in A und in B. Die Tangente durch P berührt den Kreis in T. Dann sagt der Sekanten-Tangenten-Satz:
Beweisen Sie den Satz von Pythagoras mit Hilfe des Sekanten-Tangenten-Satzes. Hinweis: Legen Sie PA durch M.
\( |\overline{PT}|^2 = |\overline{PA}| · |\overline{PB}| \) Legen Sie PA durch M. Sei \( \left| {\overline {PM} } \right| = c \). Dann ist (c+b)·(c-b) = a². Durch Umformung wird daraus a²+b² = c².
