AB: Satz des Pythagoras und verwandte Sätze (6)
Viereck mit orthogonalen Diagonalen: Gegeben ist ein Viereck mit orthogonalen Diagonalen und drei Seitenlängen 45 mm, 164 mm und 200 mm sowie der Abstand 36 des Diagonalen-schnittpunktes von einem Eckpunkt (sieheAbbildung). Wie lang ist die vierte Seite?
\( \sqrt { { {164}^2} - { {36}^2} } = 160 \),
\( \sqrt { { {200}^2} - { {160}^2} } = 120 \),
\( \sqrt { { {45}^2} - { {36}^2} } = 27 \),
\( \sqrt { { {120}^2} + { {27}^2} } = 123 \).
Pythagoras-Parkett: Mit Quadraten kongruent zu ABCD und BEFG lässt sich die Ebene parkettieren (siehe Abbildung). Auf dieses Parkett wird das Quadrat HIJK so gelegt, dass HK parallel zu AG ist und \( \left| {\overline {HK} } \right| = \left| {\overline {AG} } \right| \).
Zeigen Sie, dass dann folgende Skizze den Satz von Pythagoras beweist.
Jedes der Drei-, Vier- oder Fünfecke, welche das Quadrat HIJK ausfüllen, ist kongruent zu einem Drei-, Vier-, Fünfeck, das die Gesamtfläche der Quadrate ABCD und BEFG ausfüllen (kongruente Flächen sind mit gleichem Farbton unterlegt).
Hypotenusenquadrat:
Zeigen Sie: In einem rechtwinkligen Dreieck geht die Winkelhalbierende des rechten Winkels durch den Schnittpunkt der Diagonalen des Hypotenusenquadrates.
Die Diagonalenschnittpunkte eines Quadrates und seines einbeschriebenen Quadrates sind identisch. In der Darstellung ist das Hypotenusenquadrat einbeschrieben in ein Quadrat, auf dessen Seiten die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks (grau) liegen.
Zeigen Sie: In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Winkelhalbierende des rechten Winkels das Hypotenusenquadrat in zwei flächengleiche Stücke.
In jedem Rechteck teilt eine Gerade durch den Diagonalenschnittpunkt das Rechteck in zwei kongruente, flächengleiche Teile. Das gilt insbesondere für das Hypotenusenquadrat.
Abstand von der Ecke: Der Punkt P im Inneren des Rechtecks ABCD hat von A den Abstand 7, von B den Abstand 2 und von C den Abstand 6. Welchen Abstand hat P von D?
Ziehen Sie die Parallele durch P zu CB im Abstand s. Ihr Abstand von DA sei dann r. Ziehen Sie die Parallele durch P zu AB im Abstand t. Ihr Abstand von DC sei dann t.
Dann gilt:
s²+t²=4
r²+t² =49 und daher (2) – (1) r² - s² =45.
Außerdem gilt:
u²+s²=36
u²+r²=x³ und daher (4) – (3) r² – s² =x² – 36.
Damit ist x²–36=45 und x²=81 und folglich x=9.