AB: Lektion ggT und kgV (Teil 2)
Teste dein Wissen zu ggT und kgV mit diesen Aufgabenblöcken. Alle Berechnung sind im Kopf bzw. auf Papier zu erledigen.
Bilde das kgV für folgende Werte:
kgV(10, 60) =
10 = 2·5
60 = 2·2·3·5
kgV(10, 60) = 2·2·3·5 = 60
kgV(12, 40) =
12 = 2·2·3
40 = 2·2·2·5
kgV(12, 40) = 2·2·2·3·5 = 120
kgV(9, 15) =
9 = 3·3
15 = 3·5
kgV(9, 15) = 3·3·5 = 45
kgV(25, 100) =
25 = 5·5
100 = 2·2·5·5
kgV(25, 100) = 2·2·5·5 = 100
kgV(20, 110) =
20 = 2·2·5
110 = 2·5·11
kgV(20, 110) = 2·2·5·11 = 220
kgV(4, 5, 6) =
4 = 2·2
5 = 5
6 = 2·3
kgV(4, 5, 6) = 2·2·3·5 = 60
kgV(18, 25, 45, 50) =
18 = 2·3·3
25 = 5·5
45 = 3·3·5
50 = 2·5·5
kgV(18, 25, 45, 50) = 2·3·3·5·5 = 450
Bruchaufgabe zum ggT: Zerlege Zähler und Nenner des Bruches in Primfaktoren. Bilde dann den größten gemeinsamen Teiler beider Zahlen.
Auf welchen Bruch kann gekürzt werden?
$$ \frac{1344}{126} = $$
Zerlegung in Primfaktoren (also Primzahlen in Multiplikation):
$$ \frac{1344}{126} = \frac{2·2·2·2·2·2·3·7}{2·3·3·7} $$
Als nächstes kürzen wir die Primfaktoren in Zähler und Nenner miteinander (wir streichen die gleichen Zahlen weg).
$$ = \frac{ \cancel{2}·2·2·2·2·2·\cancel{3}·\cancel{7} }{\cancel{2}·3·\cancel{3}·\cancel{7}} $$
Die weggestrichenen Primfaktoren ergeben zusammen den größten gemeinsamen Teiler.
Schlussfolgerung: 2 · 3 · 7 = 42 ist der ggT bzw. kurz notiert: ggT(1344, 126) = 42
Es bleiben folgende Primfaktoren übrig:
$$ = \frac{2·2·2·2·2}{3} = \frac{32}{3} $$
Wir haben also mit 42 (dem ggT) so weit wie möglich gekürzt:
$$ \frac{1344}{126} = \frac{ 1344 \textcolor{#F00}{:42} }{ 126 \textcolor{#F00}{:42} } = \frac{32}{3} $$
Bruchaufgabe zum kgV: Zerlege die Nenner des Bruches in ihre Primfaktoren und bilde dann den gemeinsamen Nenner über das kgV.
Addiere anschließend beide Brüche miteinander. Wie lautet das kgV? Was für einen Bruch erhältst du als Ergebnis?
$$ \frac{3}{70}+\frac{4}{1100} = $$
Zerlegung in Primfaktoren (Primzahlen):
$$ \frac{3}{2·5·7}+\frac{4}{2·2·5·5·11} = $$
Wir erweitern mit den jeweils fehlenden Primfaktoren, um die Nenner gleichnamig zu machen:
\( \frac{3 \textcolor{#00F}{·2·5·11} }{2·5·7 \textcolor{#00F}{·2·5·11}} + \frac{4 \textcolor{#00F}{·7}}{2·2·5·5·11 \textcolor{#00F}{·7}} \)
Schlussfolgerung: 2 · 2 · 5 · 5 · 7 · 11 = 7700 ist das kgV bzw. kurz notiert: kgV(70, 1100) = 7700
Beide Summanden auf den gemeinsamen Nenner zusammengefasst:
$$ \frac{ 3 \textcolor{#00F}{·2·5·11} + 4 \textcolor{#00F}{·7} }{2·2·5·5·7·11} = \frac{ 330 + 28 }{ 7700 } = \frac{358}{7700} $$
Anstatt also einfach nur die Nenner zu multiplizieren (70·1100=77.000), um auf einen gemeinsamen Nenner zu kommen, haben wir nur auf das kleinste gemeinsame Vielfache (die 7700) erweitert.