AB: Grenzwerte von gebrochenrationalen Funktionen
Im Folgenden sind die Grenzwerte der gebrochenrationalen Funktionen für \( x \rightarrow \pm \infty \) zu bestimmen.
Zur Bestimmung des Grenzwertes ist wie folgt vorzugehen:
1. Polynomdivision ausführen
2. Grenzwert bestimmen (entspricht dem Verhalten der Asymptote)
Bestimme die Grenzwerte der gebrochenrationalen Funktionen.
\( f(x)=\frac{4x-1}{x+1} \)
Zählergrad = Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
Polynomdivision ist möglich.
(4x-1) : (x+1) = 4 + (-5)/(x+1)-(4x+4)
Rest: -5
Ganzrationaler Anteil: \( y_A = 4 \)
Rest: \( -\frac{5}{x+1} \)
\( x \rightarrow \pm \infty \quad \Rightarrow \quad f(x) → 4 \\ \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x)=4 \)
Plot:
~plot~ (4x-1)/(x+1);[[-1|30|-2|5]] ~plot~
\( f(x)=\frac{3x+1}{x} \)
Zählergrad = Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
Polynomdivision ist möglich.
(3x+1) : (x) = 3 + (1)/(x)-(3x)
Rest: 1
Ganzrationaler Anteil: \( y_A = 3 \)
Rest: \( \frac{1}{x} \)
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 3 \)
Plot:
~plot~ (3x+1)/(x);[[-2|10|-2|5]] ~plot~
\( f(x)=\frac{2x+1}{3x^{2}+1} \)
Zählergrad < Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \)
Plot:
~plot~ (2x+1)/(3x^2+1) ~plot~
Die Asymptote geht gegen 0.
\( f(x)=\frac{3\left(1+\frac{1}{x}\right)}{2} \)
Zählergrad > Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
Polynomdivision ist möglich.
(3+3/x) : (2) = 1,5x+1,5-(3x)
Rest: 3
Ganzrationaler Anteil: \( y_A = 1,5 \)
Rest: \( 1,5x \)
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1,5 \)
Plot:
~plot~ (3+3/x)/(2);[[-2|50|-2|5]] ~plot~
\( f(x)=\frac{3}{x^{2}+5} \)
Zählergrad < Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \)
Plot:
~plot~ 3/(x^2+5) ~plot~
Die Asymptote geht gegen 0.
\( f(x)=\frac{4x}{2-x^{2}} \)
Zählergrad < Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \)
Plot:
~plot~ 4x/(2-x^2);[[-5|20|-5|5]] ~plot~
Die Asymptote geht gegen 0.
\( f(x)=\frac{x^{2}+x-1}{2 x-1} \)
Zählergrad > Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \)
Plot:
~plot~ (x^2+x-1)/(2x-1);[[-5|10|-5|10]] ~plot~
Die Asymptote geht gegen ∞.
\( f(x)=\frac{x^{2}+2}{x-3} \)
Zählergrad > Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty \)
Plot:
~plot~ (x^2+2)/(x-3);[[-5|100|-5|100]] ~plot~
Die Asymptote geht gegen ∞.
\( f(x)=\frac{3+\frac{1}{x}}{(-1)^{x}} \)
Es handelt sich nicht um eine gebrochenrationale Funktion, sondern um eine Exponentialfunktion.
Zähler: \( 3 + \frac{1}{x} \) bei \( x \rightarrow \infty \)
\( \Rightarrow f(x) \rightarrow \frac{3}{-1} \) (wenn \( x \) gerade)
\( \Rightarrow f(x) \rightarrow \frac{3}{1} \) (wenn \( x \) ungerade)
Es gibt keinen Grenzwert.
\( f(x)=\frac{3x^{3}+x^{2}-2x}{x-x^{2}+2 x^{3}} \)
Es handelt sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
Polynomdivision ist möglich.
(3x3+x2-2x) : (x-x2+2x3) = 1,5 + (2,5x2-3,5x)/(x-x2+2x3)-(3x3-1,5x2+1,5x)
-(2,5x2-3,5x)
Ganzrationaler Anteil: \( y_A = 1,5 \)
Rest: \( 2,5x^2-3,5x \)
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1,5 \)
Plot:
~plot~ (3x^3+x^2-2x)/(x-x^2+2x^3);[[-3|50|-3|5]] ~plot~
\( f(x)=\frac{x+x^{2}+x^{4}}{2+3x-2x^{4}} \)
Es handelt sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
Polynomdivision ist möglich.
(x4+x2+x) : (-2x4+3x+2) = -0,5 + (x2+2,5x+1)/(-2x4+3x+2)-(x4-1,5x-1)
-(x2+2,5x+1)
Ganzrationaler Anteil: \( y_A = -0,5 \)
Rest: \( 1,5x^2+1,5x \)
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = –0,5 \)
Plot:
~plot~ (x^4+x^2+x)/(-2x^4+3x+2);[[-2|10|-3|2]] ~plot~
\( f(x)=\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right) \)
Es handelt sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion.
Polynomdivision ist möglich.
(x + 1/x) : (x) = 1 + 1/x²-(x)
1/x
-(1/x)
Rest: 0
Ganzrationaler Anteil: \( y_A = 1 \)
Rest: \( 0 \)
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 1 \)
Plot:
~plot~ (1+1/(x^2));[[-2|20|-1|5]] ~plot~
\( f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{4}} \)
Zählergrad < Nennergrad.
Daher handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
\( \Rightarrow \lim \limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 \)
Plot:
~plot~ (x^3+x)/(x^4) ~plot~
Die Asymptote geht gegen 0.