AB: Anwendung Integralrechnung I
Nachfolgend findet ihr Anwendungsaufgaben zur Integralrechnung im Alltag, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Zu Dekorationszwecken soll der Umriss eines Vogels aus Messing hergestellt werden (siehe Abbildung). Die Graphen können durch zwei Funktionen beschrieben werden: f(x) = x³ - 3x² + 2x und g(x) = x² - 2x.
Bestimme die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossen wird.
Man bilde die Differenzenfunktion \( h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \). Wie im Schaubild zu erkennen, müssen wir für die Fläche von x = 0 bis x = 2 integrieren. Dennoch lohnt sich ein schneller Blick, ob dazwischen nicht Nullstellen liegen, die bei der Integration betrachtet werden müssten.
\( h(x) = x^3-4x^2+4x = x·(x^2-4x+4) \)
Das geübte auge erkennt die binomische Formel im zweiten Faktor:
\( h(x) = x(x-2)^2 \)
Alternativ hätte man einfach die Nullstellen bestimmen können. Ob man die pq-Formel, Satz von Vieta oder andere Mittel einsetzt, ist dabei jedem selbst überlassen. Anhand der obigen Faktorisierung erkennen wir jedenfalls, dass die Grenzsetzung mit x = 0 und x = 2 passt.
\( \int_0^2 x^3-4x^2+4x \;dx = \left[\frac14x^4 - \frac43x^3+2x^2\right]_0^2 \\ = \left(\frac14 · 2^4 - \frac43 · 2^3 + 2 · 2^2 - \left(\frac14 · 0^4 - \frac43 · 0^3 + 2 · 0^2\right)\right) \\ = \frac{4}{3} \)
Der Flächeninhalt beträgt \(A = \frac{4}{3} FE\).
Der Vogel soll noch einen Schwanz erhalten. Wie weit müssen beide Graphen nach rechts verlängert werden, damit die zusätzlich entstehende Fläche zwischen f und g im Intervall von [2; a] genau 0,1 FE ausmacht?
Das Integral haben wir schon aufgestellt. Daran ändert sich nichts. Die Grenze ist allerdings nicht ganz klar. Die untere ist 2, die obere bezeichnen wir nun mal als a:
\( 0,1 = \int \limits_{2}^{a} x^3 - 4x^2 + 4x \;dx \)
Für die Weiterrechner:
\( = \left[\frac14x^4 - \frac43x^3+2x^2\right]_2^a \\ = \left(\frac14 · a^4 - \frac43 · a^3 + 2 · a^2 - \left(\frac14 · 2^4 - \frac43 · 2^3 + 2 · 2^2\right)\right) \)
Zusammengefasst:
\( \frac14a^4 - \frac43 a^3 + 2 a^2 - \frac{4}{3} = 0.1 \)
Mit einem Näherungsverfahren wie bspw. dem Newtonverfahren oder mit Hilfe vom Taschenrechner ergibt sich: a = 2,5
In der Abbildung siehst du den Rohentwurf eines Turbinenschaufelprofils.
Berechne den Inhalt der Querschnittsfläche der Turbinenschaufel.
Um die Querschnittsfläche der Turbinenschaufel zu berechnen, müssen wir Funktionen aufstellen. Man kann hierzu für die Parabel drei Bedingungen ablesen und für die kubische Funktion vier Bedingungen. Das ergibt die Funktion:
\( f(x) = -0,06x^2 + 1,5 \)
\( g(x) = -0,01x^3 + 0,01x^2 + 0,25x - 0,25 \)
Bildet man die Differenzfunktion h(x) = f(x) - g(x) ergibt sich:
\( h(x) = 0,01 x^3 - 0,07 x^2 - 0,25 x + 1,75 \)
Integriert im Bereich von x = -5 und x = 5 ergibt sich:
\( \int_{-5}^5 0,01 x^3 - 0,07 x^2 - 0,25 x + 1,75\; dx \\ = \left[\frac{0,01}{4}x^4 - \frac{0,07}{3}x^3 - \frac{0,25}{2}x^2 + 1,75x\right]_{-5}^5 \\ = \frac{35}{3} \)
Die Turbine hat einen Flächeninhalt von \(A = \frac{35}{3} FE \approx 11,67 FE\)
Berechne das Volumen und die Masse einer solchen Schaufel (Länge 80 cm) unter der Voraussetzung, dass sie aus Titan (Dichte 4,52 g/cm³) gefertigt ist.
Das Volumen ergibt sich aus:
\( V = A · l \\ V = \frac{35}{3} cm^2 · 80 cm \\ V = \frac{2~800}{3} cm^3 \\ V \approx 933 cm^3 \)
Die Masse ergibt sich zu:
\( m = \rho · V \\ m = 4,52 \frac{g}{cm^3} · \frac{2~500}{3} \text{ cm}^3 \\ m = \frac{12~656}{3} \text{ g} \\ m \approx 4~219 \text{ g} \)