AB: Lektion Partielle Integration
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur partiellen Integration, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Bestimme das Integral (einfach).
Um die Integrale zu bestimmen, sind immer f und g’ zu bestimmen (hier verwenden wir u und v’, um mit den Funktionen nicht durcheinander zukommen). Teils mag die Wahl beliebig sein, teils wird nur ein Weg zum Ziel führen. Hier sei je ein Weg gezeigt, unabhängig davon, ob zwei Wege zum Ziel führen würden.
Allgemein:
\( \int u\cdot v' \; dx = \left[u\cdot v\right] - \int u'\cdot v\; dx \)
f(x) = x·sin(x)
u = x und v’ = sin(x), also u’ = 1 und v = -cos(x)
\( \int x\cdot \sin(x) \; dx = x\cdot (-\cos(x)) - \int 1\cdot (-\cos(x)) \; dx = -x\cdot\cos(x) + \int \cos(x) \; dx = -x\cdot\cos(x) + \sin(x) + c \)
g(x) = x·ex
\( u = x \) und \( v’ = e^x \), also \( u’ = 1 \) und \( v = e^x \)
\( \int x\cdot e^x \; dx = x\cdot e^x - \int e^x \; dx = x\cdot e^x - e^x + c \)
h(x) = x²·ex
\( u = x² \) und \( v’ = e^x \), also \( u’ = 2x \) und \( v = e^x \)
\( \int x^2\cdot e^x \; dx = x^2\cdot e^x - \int 2x\cdot e^x \; dx = x^2\cdot e^x - 2\int x\cdot e^x \; dx \)
Hier müssen wir ein weiteres Mal integrieren. Genau wie bei der Aufgabe 2. Nehmen wir das dortige Ergebnis.
\( x^2\cdot e^x - 2\int x\cdot e^x \; dx = x^2\cdot e^x - 2\left(x\cdot e^x - e^x + c\right) = x^2\cdot e^x - 2x\cdot e^x + 2e^x + d \)
Dabei ist d = -2c.
k(x) = \( \frac{2·x}{e^x} \)
k(x) = \( \frac{2x}{e^x} \) = 2x·\( \frac{1}{e^x} \) = 2x·e-x
u = 2x und v’ = e-x, also u’ = 2 und v = -e-x
\( \int 2x\cdot e^{-x} \; dx = 2x\cdot\left(-e^{-x}\right) - \int 2\cdot \left(-e^{-x}\right)\; dx = -2xe^{-x} - 2e^{-x} \)
Bestimme das Integral (mittelschwer):
f(x) = ln(x)
Das hatten wir schon in der Lektion zur Partiellen Integration kennengelernt. Wir fügen noch eine 1 hinzu:
\( \int \ln(x) \;dx = \int 1\cdot\ln(x) \;dx \)
Nun können wir f(x) und g’(x) wählen. Da f(x) = 1 keinen Sinn macht, wählen wir g’(x) = 1.
\( f(x) = \ln(x)\quad \to \quad f'(x) = \frac{1}{x} \\ g'(x) = 1 \quad \to \quad g(x) = x \)
Mit dieser Nebenrechnung müssen wir nun noch in die zu Beginn genannte Formel.
\( \int f(x)\cdot g'(x) \;dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right] - \int f'(x)\cdot g(x) \;dx \\ \int \ln(x)\cdot1\;dx = \left[\ln(x)\cdot x\right] - \int \frac1x\cdot x \;dx \)
Nun kann man den letzten Summanden noch zu 1 vereinfachen und simpel integrieren. Der erste Summand ist ja bereits integriert. Am Ende noch zusammenfassen und fertig.
\( \int \ln(x)\cdot1\;dx = \left[\ln(x)\cdot x\right] - \int 1 \;dx \\ \int \ln(x)\cdot1\;dx = \left[\ln(x)\cdot x - x\right] = \left[x\cdot\left(\ln(x)-1\right)\right] \)
g(x) = ln(x) + x
Wir können hier summandenweise integrieren. Dann ergibt sich obiges, zudem noch der Summand, der sich aus der Integration von x ergibt. Also direkt (mit a)).
\( \int \ln(x) + x \; dx = \left(x\cdot\left(\ln(x)-1\right)\right) + \frac{1}{2}·x^2 + c \)
h(x) = x·ln(x)
Hier gehen wir wieder wie gewohnt voran, indem wir uns u und v’ wählen.
u = ln(x) und v’ = x, also u’ = 1/x und v = 1/2·x^2
\( \int x\ln(x) \; dx = \ln(x)\cdot \frac{1}{2}\cdot x^2 - \int\frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2}\cdot x^2\;dx \\ = \frac{1}{2} \cdot x^2\ln(x) - \int \frac{1}{2}·x\;dx \\ = \frac{1}{2}·x^2\ln(x) - \frac{1}{4}·x^2 + c \)
k(x) = (x²+1)·ln(x)
Die Lösung findet sich analog zu der Aufgabe zuvor, auch wenn eine Summe als Faktor vorliegt.
u = ln(x) und v’ = x² + 1, also u’ = 1/x und v = 1/3·x³ + x
\( \int (x^2+1)\cdot \ln(x)\; dx = \ln(x)\cdot\left(\frac13x^3+x\right) - \int \frac1x\left(\frac13x^3+x\right)\; dx \\ = \ln(x)\cdot\left(\frac13x^3+x\right) - \int \frac13x^2+1\; dx \\ = \ln(x)\cdot\left(\frac13x^3+x\right) - \frac19x^3-x+c \)
m(x) = sin(x)·cos(x)
u = cos(x) und v’ = sin(x), also u’ = -sin(x) und v = -cos(x)
\( \int \sin(x) \cdot \cos(x) \; dx = -\cos(x) \cdot \cos(x) - \int (-\cos(x))\cdot (-\sin(x)) \; dx \\ = -\cos(x) \cdot \cos(x) - \int \cos(x)\cdot \sin(x) \; dx \)
Nun alle Integrale auf einer Seite sortieren und durch 2 dividieren.
\( \int \sin(x) \cdot \cos(x) \; dx = -\frac12 \cos^2(x) + c \)
n(x) = ex·cos(x)
u = cos(x) und v’ = ex, also u’ = -sin(x) und v = ex
\( \int e^x\cdot\cos(x) \;dx = e^x\cdot \cos(x) - \int e^x\cdot(-\sin(x))\; dx \\ = e^x\cdot\cos(x) + \int e^x\cdot\sin(x) \; dx \)
Nur das letzte Integral erneut betrachtet.
u = sin(x) und v’ = ex, also u’ = cos(x) und v = ex
\( \int e^x\sin(x) \; dx = e^x\sin(x) - \int e^x\cdot \cos(x) \; dx \)
Insgesamt also:
\( \int e^x\cdot\cos(x) \; dx = e^x\cdot \cos(x) + e^x\cdot \sin(x) - \int e^x \cos(x) \; dx \)
Nun alle Integrale auf der linken Seite sammeln und dann durch 2 dividieren. Es ergibt sich:
\( \int e^x \cdot \cos(x) \;dx= \frac12e^x\left(\sin(x) + \cos(x)\right) + c \)