AB: Anwendung Integralrechnung III
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Anwendung der Integralrechnung, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Ein Eisenbahntunnel hat einen parabelförmigen Querschnitt. Wie viel Kubikmeter Beton werden verbraucht, wenn der Tunnel nach untenstehender Abbildung mit 5 m Länge gebaut wird (Angaben im Bild in Meter).
Hier gibt es mehrere Herangehensweisen. Eine einfache Möglichkeit wäre die Bestimmung der Fläche der kompletten Wand (Rechteck) und davon die Fläche der Parabel abzuziehen.
Für die Fläche des Rechtecks braucht man keine Integralrechnung zu bemühen, das geht ohne einfacher und schneller:
\(A_{R} = 10 · 4 = 40\)
Für die Parabel können wir nun die Integralrechnung bemühen und setzen dazu erstmal ein geeignetes Koordinatensystem. Dieses soll den Koordinatenursprung genau unter dem Scheitelpunkt der Parabel haben um auf gleicher Höhe mit dem unteren Teil der Wand zu liegen. Damit haben wir eine symmetrische Parabel (Ansatz: y = a·x² + c) und können c direkt mit c = 3 ablesen.
Einen weiteren Punkt („Nullpunkt“) können wir mit N(2|0) ablesen.
Setzen wir das in den Ansatz ein, können wir die Parabel bestimmen:
\( 0 = a · 2^2 + 3 \\ a = -\frac{3}{4} \)
Die Parabelgleichung lautet also: \(y = -\frac{3}{4}·x + 3\)
Um das Integral aufzustellen, können wir von der y-Achse (x = 0) bis x = 2 integrieren und die Fläche verdoppeln (ausnutzen der Symmetrie) oder wir integrieren direkt von x = -2 bis x = 2.
Integrieren wir von x = 0 bis x = 2:
\( 2 \int \limits_{0}^{2} -\frac{3}{4}·x + 3 \; dx= 2 \left[-\frac{1}{4}·x^3 + 3·x\right]_0^{2} \\ = 2 \left(-\frac{1}{4} · 2^3 + 3 · 2 - \left(-\frac{1}{4} · 0^3 + 3 · 0 \right) \right) = 8 \)
Wir haben also eine Fläche \(A_{P} = 8\) und damit eine Gesamtfläche von:
\(A = A_R - A_P = 32\)
Es werden demnach \(V = 32 \text{ m}^2 · 5 \text{ m} = 160 \text{ m}^3 \) Beton verbraucht.
Aus 16 mm dickem Plexiglas wird eine Bikonvexlinse ausgeschnitten. Ihre beiden Brechungsflächen sollen ein parabelförmiges Profil sowie die in der Zeichnung angegebenen Maße besitzen (Angaben in mm). Wie groß ist der Materialverbrauch in Kubikzentimeter?
Unterteilen wir mal die beiden Linsenteile in Parabel \(P_{16}\) und in die Parabel \(P_8\). Weiterhin setzen wir ein geschicktes Koordinatensystem, um Gleichungen für die Parabeln aufstellen zu können.
Hier kann man ein Koordinatensystem für beide Parabeln wählen oder zwei Koordinatensysteme jeweils für die Parabeln. Wir bleiben bei einem Koordinatensystem und legen den Ursprung genau in die „Mitte“.
Die positive y-Achse soll in Richtung \(P_{16}\) schauen. Folglich gilt für beide Parabeln der allgemeine Ansatz (da Symmetrie vorliegt):
\( y = a·x^2 + c \)
Für die Parabeln \(P_{16}\) und \(P_{8}\) kann auch sofort c abgelesen werden.
\(c_{16} = 16\) und \(c_8 = -8\)
Zwei Koordinatensysteme hätten den Vorteil, dass man die zweite y-Achse nach \(P_8\) hätte schauen lassen und \(c_8 = 8\) gewesen wäre. Aber abgesehen vom Vorzeichen ändert sich nichts.
Bestimmen wir die Parabeln, in dem wir noch je einen Punkt der Parabeln bestimmen.
Die Nullpunkte bieten sich an, die wegen der Gesamtbreite der Linse von 40 bei \(N_{16}(20|0)\) und \(N_8(20|0)\) liegen.
\( P_{16}: \\ 0 = a_{16} · 20^2 + 16 \\ a_{16} = -\frac{16}{400} = -0,04 \\ y_{16} = -0,04·x^2 + 16 \)
\( P_{8}: \\ 0 = a_{8} · 20^2 - 8 \\ a_{8} = \frac{8}{400} = 0,02 \\ y_{8} = 0,02·x^2 - 8 \)
Wir können nun die Fläche mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen.
Dazu kann man sich die Symmetrie zunutze machen und zweimal die Fläche von x = 0 bis x = 20 bestimmen.
\( A_{16} = 2\int_0^{20} -0,04x^2 + 16 = 2\left[-\frac{0,04}{3}x^3 + 16x\right]_0^{20} \\ = 2\left(-\frac{0,04}{3} · 20^3 + 16 · 20 - \left(-\frac{0,04}{3} · 0^3 + 16 · 0\right)\right) \\ = \frac{1280}{3} \)
Dasselbe machen wir für \(A_8\). Da wir eine Fläche berechnen ist der Betrag zu nehmen:
\(A_8 = \frac{640}{3}\)
Addieren wir die beiden Flächen und multiplizieren sie mit der Tiefe des Plexiglases erhalten wir den Materialverbrauch:
\( V = (A_{16}+A_8) · 16 \text{ mm} \\ = 10240 \text{ mm}^3 \\ = 10,24 \text{ cm}^3 \)