Nachfolgend findet ihr Aufgaben zur Integration mittels Substitution, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.

Bestimme das Integral (einfach).

f(x) = (x+2)³

Zu substituieren: x+2 = u, damit dx = du

\( \int (x+2)^3 \; dx = \int u^3 \; du = \frac14 u^4 + c \)

Resubstituieren:

\( =\frac14(x+2)^4 + c \)

g(x) = e^{-2x - 3}

Zu Substituieren: -2x-3 = u, damit -2 dx = du

\( \int e^{-2x-3} \; dx = \int e^u \cdot(-\frac12)\;du = -\frac12e^u + c \)

Resubstituieren:

\( = -\frac12e^{-2x-3} + c \)

h(x) = x·(x² + 10)²³

Zu Substituieren: x²+10 = u, damit 2x dx = du

\( \int x\cdot\left(x^2+10\right)^{23} \; dx = \int x\cdot u^{23} \cdot \frac{1}{2x} \;du = \frac12\int u^{23} \; du \\ =\frac{1}{46}u^{24} + c \)

Resubstituieren:

\( =\frac{1}{46}(x^2+10)^{24} + c \)

\( k(x) = \frac{x}{\sqrt{2+x^2}} \)

Zu Substituieren: 2+x² = u, damit 2x dx = du

\( \int \frac{x}{\sqrt{2+x^2}} \; dx = \int \frac{x}{\sqrt{u}} \frac{du}{2x} = \frac12\int \frac{1}{\sqrt u}\; du \\ =\frac12 \cdot 2 \sqrt u + c = \sqrt u +c \)

Resubstituieren:

\( =\sqrt{2+x^2} + c \)

Bestimme das Integral (mittelschwer).

f(x) = x² · e^x³

Zu Substituieren: x³ = u, damit 3x² dx = du

\( \int x^2\cdot e^{x^3} \; dx = \int x^2 \cdot e^u \frac{1}{3x^2}\;du = \frac13\int e^u \; du = \frac13 e^u + c \)

Resubstituieren:

\( =\frac13\cdot e^{x^3} + c \)

\( g(x) = \frac{2·x + 3}{x^2 + 3·x + 1} \)

Hier sehen wir direkt, dass der Zähler die Ableitung des Nenners bildet und wir können nach dem bekannten Gesetz \( \int \frac{f'}{f} = \ln(|f|) + c \) schreiben.

\( \int \frac{2x+3}{x^2+3x+1} \;dx = \ln\left(|x^2+3x+1|\right) + c \)

Alternativ auch über die Substitution mit u = x²+3x+1.

\( h(x) = \frac{1}{x·\ln(x)} \)

Zu Substituieren: ln(x) = u, damit \( \frac{1}{x} \) dx = du

\( \int \frac{1}{\ln(x)}\frac1x \;dx = \int \frac{1}{u} \frac1x \cdot x\;du = \int \frac1u \;du = \ln(u) + c \)

Resubstituieren:

\( =\ln(\ln(x)) + c \)

k(x) = sin(3 - 7·x)

Zu Substituieren: 3-7x = u, damit -7 dx = du

\( \int \sin(3-7x) \; dx = \int \sin(u) \cdot\left(-\frac17\right)\;du = -\frac17\int\sin(u)\;du = \frac17 \cos(u) + c \)

Resubstituieren:

\( =\frac17\cos(3-7x)+c \)

m(x) = x·cos(x²)

Zu Substituieren: x² = u, damit 2x dx = du

\( \int x\cdot \cos(x^2) \;dx = \int x\cdot \cos(u) \cdot \frac{1}{2x}\;du = \frac12\int \cos(u) \;du = \frac12\sin(u) + c \)

Resubstituieren:

\( =\frac12\sin(x^2)+c \)

Lösungen

AB: Lektion Integration mittels Substitution