AB: Lektion Bestimmtes Integral
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu bestimmten Integralen, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Bestimme das Integral (einfach).
\( \int \limits _0^2 x^3-6x^2+5x+2\; dx \)
\( =\left[\frac14x^4-\frac63x^3+\frac52x^2+2x\right]_0^2 \\ =\left(\frac142^4-3\cdot2^3+\frac522^2+2\cdot2\right) - \left(0\right) \\ = 2 \)
\( \int \limits _{-4}^4 x^3-x \;dx \)
\( =\left[\frac14x^4-\frac12x^2\right]_{-4}^4 \\ =\left(\frac144^4 - \frac124^2\right) - \left(\frac14(-4)^4-\frac12(-4)^2\right) \\ = 0 \)
Hier haben wir eine Besonderheit entdeckt, die auch in der nächsten Lektion zur Flächenberechnung eine Bemerkung finden wird. Liegt eine Punktsymmetrie vor und wird vom Ort der Symmetrie in beide Richtungen gleich weit integriert, so ist der Wert 0.
\( \int \limits _1^2 \frac{1}{x} + e^{4x}\;dx \)
\( =\left[\ln(x) + \frac14e^{4x}\right] \\ =\left(\ln(2)+\frac14e^{8}\right) - \left(\ln(1)+\frac14e^{4}\right) \\ =\frac14(e^8 - e^4) + \ln(2) \approx 732,2831 \)
\( \int \limits _{-1}^3 x^2+3\;dx \)
\( =\left[\frac{1}{3}x^3+3x\right]_{-1}^3 \\ =\left(\frac133^3+3\cdot3\right) - \left(\frac13(-1)^3+3\cdot(-1)\right) \\ =\frac{64}{3} \)
\( \int \limits _{-1}^3 x^2+3 \;da \)
Hier aufgepasst, wir sollen nicht nach x integrieren, sondern nach a.
\( =\left[ (x^2+3)\cdot a\right ]_{-1}^3 \\ =\left((x^2+3)\cdot 3\right) - \left((x^2+3)\cdot(-1)\right) \\ =4(x^2+3) \)
Es ist dabei völlig richtig, dass im Ergebnis noch ein x vorhanden ist. Beim Einsetzen wird nur a durch die Grenzen ersetzt und wir erhalten einen quadratischen Ausdruck als Ergebnis.
Bestimme das Integral (Tipp: Substitution).
Wer sich die Aufgaben der Lektion "Integration mittels Partialbruchzerlegung" angeschaut hat, wird die Aufgaben wiedererkennen. Dies sind dieselben, nur dass nun Grenzen einzusetzen sind. Es ist zu beachten, dass während der Substitution die Grenzen weggelassen werden und erst nach der Resubstitution wieder angefügt werden (alternativ die Grenzen mitsubstituieren).
\( f(x) = x^2 · e^{x^3} \) in den Grenzen von 0 bis ln(e)
Zu Substituieren: x³ = u, damit 3x² dx = du
\( \int \limits_0^{\ln(e)} x^2\cdot e^{x^3} \; dx = \int x^2 \cdot e^u \frac{1}{3x^2}\;du = \frac13\int e^u \; du = \left[\frac13 e^u \right] \)
Resubstituieren:
\( =\left[\frac13\cdot e^{x^3}\right]_0^{\ln(e)} = \frac13\cdot e^{\ln(e)^3}-\frac13\cdot e^{0^3} \)
\( =\frac13\cdot e^1 - \frac13\cdot 1 = \frac13 (e-1) \approx 0,5728 \)
Denn es ist ja ln(e) = 1.
\( g(x) = \frac{2x+3}{x^2+3x+1} \) in den Grenzen von 0 bis 3
Hier sehen wir direkt, dass der Zähler die Ableitung des Nenners bildet und wir können nach dem bekannten Gesetz \( \int \frac{f'}{f} = \ln(|f|) + c \) schreiben.
\( \int \limits_0^3 \frac{2x+3}{x^2+3x+1} \;dx = \left[\ln\left(|x^2+3x+1|\right) \right]_0^3 \\ =\ln(9+9+1) - \ln(1) = ln(19) \approx 2,9444 \)
\( h(x) = \frac{1}{x·\ln(x)} \) in den Grenzen von 2 bis e
Zu Substituieren: ln(x) = u, damit \( \frac{1}{x} \) dx = du
\( \int \limits_2^e \frac{1}{\ln(x)}\frac1x \;dx = \int \frac{1}{u} \frac1x \cdot x\;du = \int \frac1u \;du = \left[\ln(u) \right] \)
Resubstituieren:
\( =\left[\ln(\ln(x))\right]_2^e = \ln(\ln(e)) - \ln(\ln(2)) = \ln(1) - \ln(\ln(2)) = -\ln(\ln(2)) \approx 0,3665 \)
\( k(x) = \sin(3-7x) \) in den Grenzen von -π bis π
Zu Substituieren: 3-7x = u, damit -7 dx = du
\( \int \limits_{-\pi}^{\pi} \sin(3-7x) \; dx = \int \sin(u) \cdot\left(-\frac17\right)\;du = -\frac17\int\sin(u)\;du = \left[\frac17 \cos(u) \right] \)
Resubstituieren:
\( =\left[\frac17\cos(3-7x)\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{7}\cos{3-7\pi} - \frac{1}{7}\cos(3+7\pi) = 0 \)
\( m(x) = x\cdot\cos(x^2) \) in den Grenzen von 0 bis π
Zu Substituieren: x² = u, damit 2x dx = du
\( \int \limits_0^{\pi} x\cdot \cos(x^2) \;dx = \int x\cdot \cos(u) \cdot \frac{1}{2x}\;du = \frac12\int \cos(u) \;du = \left[\frac12\sin(u) \right] \)
Resubstituieren:
\( =\left[\frac12\sin(x^2)\right]_0^{\pi} = \frac12\sin(\pi^2) - \frac12\sin(0) = \frac{\sin(\pi^2)}{2} \approx -0,2152 \)
Bestimme das Integral (Tipp: Partielle Integration):
Wer sich die Aufgaben der Lektion "Integration mittels Substitution" angeschaut hat, wird die Aufgaben wiedererkennen. Dies sind dieselben, nur dass nun Grenzen einzusetzen sind.
\( f(x) = \ln(x) \) in den Grenzen von 1 bis e
Das hatten wir schon in der eigentlichen Lektion. Wir fügen noch eine 1 hinzu:
\( \int \ln(x) \;dx = \int 1\cdot\ln(x) \;dx \)
Nun können wir f(x) und g’(x) wählen. Da f(x) = 1 keinen Sinn macht, wählen wir g’(x) = 1.
\( f(x) = \ln(x)\quad \to \quad f'(x) = \frac1x \\ g'(x) = 1 \quad \to \quad g(x) = x \)
Mit dieser Nebenrechnung müssen wir nun noch in die zu Beginn genannte Formel.
\( \int f(x)\cdot g'(x) \;dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right] - \int f'(x)\cdot g(x) \;dx \\ \int \ln(x)\cdot1\;dx = \left[\ln(x)\cdot x\right] - \int \frac1x\cdot x \;dx \)
Nun kann man den letzten Summanden noch zu 1 vereinfachen und simpel integrieren. Der erste Summand ist ja bereits integriert. Am Ende noch zusammenfassen und fertig.
\( \int \ln(x)\cdot1\;dx = \left[\ln(x)\cdot x\right] - \int 1 \;dx \\ \int \ln(x)\cdot1\;dx = \left[\ln(x)\cdot x - x\right] = \left[x\cdot\left(\ln(x)-1\right)\right] \)
Mit dem Ergebnis des Integrals können wir nun direkt die Grenzen einsetzen:
\( \int \limits_1^e \ln(x) \; dx = \left[x\cdot(\ln(x)-1)\right]_1^e = e\cdot (\ln(e)-1) - 1\cdot(\ln(1)-1) \)
\( =e\cdot (1-1) - 1\cdot(0-1) = 1 \)
\( g(x) = \ln(x) + x \) in den Grenzen von 1 bis e
Wir können hier summandenweise integrieren. Dann ergibt sich obiges, zudem noch der Summand, der sich aus der Integration von x ergibt. Also direkt (mit a)).
\( \int \limits_1^e \ln(x) + x \; dx = \left[\left(x\cdot\left(\ln(x)-1\right)\right) + \frac12x^2\right]_1^e \\ =\left(e\cdot(\ln(e)-1)+\frac12e^2\right) - \left(1\cdot(\ln(1)-1)+\frac12\cdot1\right) = \frac12 e^2+1 \approx 4,1945 \)
\( h(x) = x·\ln(x) \) in den Grenzen von 2 bis e
Hier gehen wir wieder wie gewohnt voran, indem wir uns u und v’ wählen.
u = ln(x) und v’ = x, also u’ = \( \frac{1}{x} \) und v = \( \frac{1}{2} \)·x^2
\( \int \limits_2^e x\ln(x) \; dx = \ln(x)\cdot \frac12\cdot x^2 - \int \limits_2^e\frac1x\cdot \frac12\cdot x^2\;dx \\ =\left[\frac12\cdot x^2\ln(x)\right]_2^e - \int \limits_2^e \frac12x\;dx \\ = \left[\frac12x^2\ln(x) - \frac14x^2\right]_2^e \\ = \left(\frac12 e^2\ln(e) - \frac14e^2\right) - \left(\frac122^2\ln(2) - \frac142^2\right) \\ =1+\frac14e^2-\ln(4) \approx 1,4610 \)
\( k(x) = (x^2+1)·\ln(x) \) in den Grenzen von 1 bis 3e
Kein großer Unterschied zur Aufgabe davor, auch wenn eine Summe als Faktor vorliegt.
u = ln(x) und v’ = x² + 1, also u’ = 1/x und v = \( \frac{1}{3} \)·x³ + x
\( \int \limits_1^{3e} (x^2+1)\cdot \ln(x)\; dx = \ln(x)\cdot\left(\frac13x^3+x\right) - \int \limits_1^{3e} \frac1x\left(\frac13x^3+x\right)\; dx \\ = \left[\ln(x)\cdot\left(\frac13x^3+x\right)\right]_1^{3e} - \int \limits_1^{3e} \frac13x^2+1\; dx \\ = \left[\ln(x)\cdot\left(\frac13x^3+x\right) - \frac19x^3-x\right] \\ = … = \frac{10}{9} + e\ln(27) + 3e^3(2+\ln(27)) \approx 329,1793 \)
\( m(x) = \sin(x)·\cos(x) \) in den Grenzen von 0 bis \( \frac{π}{2} \)
u = cos(x) und v’ = sin(x), also u’ = -sin(x) und v = -cos(x)
\( \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cdot \cos(x) \; dx = -\cos(x) \cdot \cos(x) - \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} (-\cos(x))\cdot (-\sin(x)) \; dx \\ = -\cos(x) \cdot \cos(x) - \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\cdot \sin(x) \; dx \)
Nun alle Integrale auf einer Seite sortieren und durch 2 dividieren.
\( \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \cdot \cos(x) \; dx = \left[-\frac12 \cos^2(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ =-\frac12 \cos^2(\frac{\pi}{2}) + \frac12\cos^2(0) = \frac12 = 0,5 \)