AB: Lektion Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen (Teil 1)
Die nachfolgenden Aufgaben prüfen, ob du das Wissen aus der Lektion „Irrationale Zahlen“ beherrschst. Viel Erfolg!
Beantworte die folgenden Verständnisfragen zu den irrationalen Zahlen.
Beschreibe die 3 Merkmale, an denen wir Irrationale Zahlen erkennen können. (Stichwörter: Bruch, Nachkommastellen)
Drei Merkmale, an denen wir Irrationale Zahlen erkennen können:
1. nicht als Bruch darstellbar,
2. unendlich viele Nachkommastellen,
3. Nachkommastellen, die nicht periodisch sind.
Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den natürlichen Zahlen gehört?
Unbekannte x gehört zu den natürlichen Zahlen: x ∈ ℕ
Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den ganzen Zahlen gehört?
Unbekannte x gehört zu den ganzen Zahlen: x ∈ ℤ
Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Rationalen Zahlen gehört?
Unbekannte x gehört zu den rationalen Zahlen: x ∈ ℚ
Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Irrationalen Zahlen gehört?
Unbekannte x gehört zu den irrationalen Zahlen: x ∈ I
Wie notiert man, dass eine Unbekannte x zu den Reellen Zahlen gehört?
Unbekannte x gehört zu den reellen Zahlen: x ∈ ℝ
Versuche, den Beweis, dass es irrationale Zahlen gibt, anhand von \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \) selbst zu führen. Schreibe die einzelnen Schritte auf und schau, ob du es bis zum Ende schaffst.
Annahme: \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \), wobei \( \frac{a}{b} \) teilerfremd sind (also a noch b keinen gemeinsamen Teiler haben).
Aufstellen und Quadrieren der Gleichung:
\(
\sqrt{2} = \frac{a}{b} \quad | ()^2
\\
(\sqrt{2})^2 = (\frac{a}{b})^2
\\
2 = \frac{a^2}{b^2} \quad | ·b^2
\\
\)
2·b² = a²
→ a² ist eine gerade Zahl, damit ist auch a eine gerade Zahl
→ Die gerade Zahl a kann dargestellt werden als: a = 2·k
2·b² = a² | a = 2·k
2·b² = (2·k)²
2·b² = 4·k² | :2
b² = 2·k²
→ b² ist eine gerade Zahl, damit ist auch b eine gerade Zahl
Schlussfolgerung: Wenn a² gerade ist und b² gerade ist, so haben beide den Teiler 2. Gleichfalls: Wenn a gerade ist und b gerade ist, so haben beide den Teiler 2. Wir hatten jedoch zu Beginn vorausgesetzt, dass a und b teilerfremd sein müssen (also keinen gemeinsamen Teiler wie 2 oder dergleichen haben). Dies ist ein eindeutiger Widerspruch.
Fazit: √2 lässt sich nicht als Bruch \( \frac{a}{b} \) darstellen.
Stelle fest, ob es sich bei den folgenden Zahlen um irrationale Zahlen handelt oder nicht. Schreibe auf, zu welcher Zahlenmenge die gegebene Zahl jeweils gehört.
\( 4 \)
Zahl 4 ist eine natürliche Zahl.
Damit auch: eine ganze Zahl, eine rationale Zahl, eine reelle Zahl, aber keine irrationale Zahl.
4 ∈ ℕ
\( \sqrt[3]{8} \)
\( \sqrt[3]{8} = 2 \)
Die Zahl 2 ist eine natürliche Zahl.
Damit auch eine ganze Zahl, eine rationale Zahl, eine reelle Zahl,
aber keine irrationale Zahl.
2 ∈ ℕ
\( \sqrt{2} \)
√2 = 1,41421356237309505…
Wurzel aus 2 ist eine irrationale Zahl.
√2 ∈ I
Kreiszahl \( \pi \)
Kreiszahl π = 3,14159265358979324…
π ist eine irrationale Zahl.
π ∈ I
\( \sqrt{5} \)
√5 = 2,2360679774997897…
Wurzel aus 5 ist eine irrationale Zahl.
√5 ∈ I
\( \sqrt{5·3} \)
\( \sqrt{5·3} = 15 = 3,87298334620741689… \)
Wurzel aus 15 ist eine irrationale Zahl!
√15 ∈ I