AB: Lektion Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen (Teil 2)
Die nachfolgenden Aufgaben prüfen, ob du das Wissen aus der Lektion „Irrationale Zahlen“ beherrschst. Viel Erfolg!
Beantworte die folgenden Fragen zu den irrationalen Zahlen.
Warum ist 0 keine irrationale Zahl?
Null ist eine ganze Zahl (0 ∈ ℤ), damit kann sie keine irrationale Zahl sein. Sie lässt sich auch als Bruch schreiben, zum Beispiel: \( \frac{0}{1} \) oder \( \frac{0}{2} \).
Warum ist √4 keine irrationale Zahl?
√4 = 2 und 2 ist eine ganze Zahl (2 ∈ ℤ), damit kann sie keine irrationale Zahl sein. Sie lässt sich auch als Bruch schreiben, zum Beispiel: \( \frac{2}{1} \) oder \( \frac{4}{2} \).
Was unterscheidet die reellen Zahlen von den irrationalen Zahlen?
Die Menge der reellen Zahlen schließt die Menge der Rationalen und Irrationalen Zahlen ein. Die Irrationalen Zahlen sind eine Teilmenge der Reellen Zahlen.
Nenne 3 eigene Beispiele für irrationale Zahlen.
√2, √3, √5, Kreiszahl π, Eulersche Zahl e, …
Können wir die letzte Nachkommastelle einer irrationalen Zahl berechnen?
Nein, denn irrationale Zahlen haben unendlich viele Nachkommastellen.
Rationale und Irrationale Zahlen ergeben zusammen welche Zahlenmenge?
Rationale und irrationale Zahlen zusammen ergeben die reellen Zahlen.
Multipliziert man eine Irrationale Zahl mit einer Irrationalen Zahl, dann ergibt sich stets eine Irrationale Zahl. Stimmt diese Aussage?
Nein, die Aussage stimmt nicht. Nehmen wir beispielsweise die Irrationale Zahl √2 und multiplizieren diese mit sich selbst, so ergibt sich: √2 · √2 = 2 ← dies ist eine Natürliche Zahl.
Welchen Zahlentyp erhältst du, wenn du eine irrationale und eine ganze Zahl miteinander addierst?
Das Ergebnis wird wieder eine irrationale Zahl sein. Beispiel: 5 + √2 = 6,41421356237309505… Die Stellen hinter dem Komma bei der Irrationalen Zahl bleiben sozusagen erhalten.
Zusatzaufgabe (schwierig): "Ist eine positive Zahl irrational, dann ist auch ihre Quadratwurzel irrational." Stimmt diese Aussage?
Benötigt wird ein Beweis durch Widerspruch.
Annahme: Die Quadratwurzel aus einer irrationalen Zahl wäre eine rationale Zahl, dann müsste die rationale Zahl quadriert eine irrationale Zahl ergeben:
√x sei im Folgenden eine Irrationale Zahl.
Dann soll die Wurzel aus dieser Irrationalen Zahl √x eine Rationale Zahl sein:
\( \sqrt{ \sqrt{x} } = \frac{a}{b} \) ( \( \frac{a}{b} \) als Darstellung der rationalen Zahl)
Äquivalenzumformung, also Quadrieren der Gleichung auf beiden Seiten:
$$ \sqrt{ \sqrt{x} } = \frac{a}{b} \quad | ()^2 \\ (\sqrt{ \sqrt{x} })^2 = (\frac{a}{b})^2 \\ \sqrt{x} = \frac{a^2}{b^2} $$
Wir sehen, √x wäre jetzt rational, da die Zahl als Bruch \( \frac{a^2}{b^2} \) darstellbar ist. Wir sagten jedoch, √x ist irrational. Damit ist die Annahme widerlegt, dass die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl rational ist.
Fazit: Die Quadratwurzel einer irrationalen Zahl ist wieder irrational.