AB: Lektion Irrationale Zahlen, Reelle Zahlen (Teil 3)

1,2345 → rational, da sie als Bruch darstellt werden kann, z. B. \( \frac{12345}{10000} \)

0,5000000000… (Periode 0) → rational, da 0,5 als Bruch schreibbar ist, z. B. als \( \frac{5}{10} \)

0,8888888… → kann umgewandelt werden in den Bruch \( \frac{8}{9} \). Damit handelt es sich um eine rationale Zahl.
Merke:
\( \frac{1}{9} = 0,11111… \)
\( \frac{2}{9} = 0,22222… \)
\( \frac{3}{9} = 0,33333… \)

0,9999999… ist definiert als 1 und 1 ist eine rationale Zahl
Hinweis: Die Zahl 0,9 Periode 9 ist als 1 definiert, da gilt: Zwei Zahlen sind nur dann unterschiedlich, wenn ihre Differenz nicht 0 ergibt. Berechnet man 1 - 0,999... mit unendlich vielen Neunen, so lässt sich die Differenz nicht bestimmen, da sie kleiner als jede beliebige Zahl ist.

Ein anderer Ansatz wäre:
\( \frac{1}{9} \) = 0,11111…   | ·9
9 · \( \frac{1}{9} \) = 9 · 0,11111…
\( \frac{9}{9} \) = 0,99999…
1 = 0,99999…

1,1111111… = 1 + 0,11111…. = 1 + \( \frac{1}{9} \)= \( \frac{10}{9} \)
\( \frac{10}{9} \) ist ein Bruch, damit handelt es sich um eine rationale Zahl.

Quadratzahlen ermitteln: 4² = 16; 5² = 25
→ Die Wurzel aus einer Ganzen Zahl zwischen 16 und 25 ist demnach irrational.
Zum Beispiel: √17 = 4,12310562561766055…

Quadratzahlen ermitteln: 1² = 1; 2² = 4
→ Die Wurzel aus einer Ganzen Zahl zwischen 1 und 4 ist demnach irrational. Also:
√2 = 1,41421356237309505…
√3 = 1,73205080756887729…

Quadratzahlen ermitteln: 4,5² = 20,25; 5,5² = 30,25
→ Die Wurzel aus einer Zahl zwischen 20,25 und 30,25 ist irrational (wichtig: nur Zahlen mit 2 Nachkommastellen betrachten).
Zum Beispiel: √20,31 = 4,50666173569749963…