AB: Lektion Kreis (Teil 3)

gegeben: Radius jedes kleinen Kreises mit r = 3 cm

1. Fläche des großen Kreises

Wir sehen, dass sich der Durchmesser des großen Kreises ergibt, indem wir die Durchmesser der 3 kleinen Kreise addieren. Der Durchmesser ist 2 Mal der Radius, also: d = 2 · r = 2 · 3 cm = 6 cm

d = 3 · 6 cm

d = 18 cm

Nun können wir die Kreisflächenformel zur Hilfe nehmen und den Radius einsetzen. Der Radius ist der halbe Durchmesser, also r = d : 2 = 18 cm : 2 = 9 cm

A_Kreis = π · r²

A_Kreis = π · (9 cm)²

A_Kreis = π · 81 cm²

A_Kreis ≈ 254,469 cm²

Antwort: Die Fläche des großen Kreises beträg rund 254,469 cm².

2. Größe der nicht überdeckten, gelbe Fläche des Kreises

Diese Fläche erhalten wir, wenn wir vom Gesamtkreis die Fläche der drei kleinen Kreise abziehen. Hierzu müssen wir zuerst die Fläche der kleinen Kreise ermitteln. Bekannt ist der Radius mit 3 cm.

A_{Kleiner Kreis} = π · r²

A_{Kleiner Kreis} = π · (3 cm)²

A_{Kleiner Kreis} = π · 9 cm²

A_{Kleiner Kreis} ≈ 28,274 cm²

A_gelb = A_Kreis - 3·A_{Kleiner Kreis}

A_gelb = 254,469 cm² - 3·28,274 cm²

A_gelb = 169,647 cm²

Antwort: Die gelbe, nicht überdeckte Fläche hat eine Größe von rund 169,647 cm².

gegeben: kreisförmige Route mit Durchmesser d = 400 km, Reisezeit 4 Std.

gesucht: Geschwindigkeit des Flugzeugs

Lösung:

Zuerst den Umfang des Kreises, also die Länge der Route berechnen:

u = 2·π · r

Radius ergibt sich aus halbem Durchmesser, also r = d : 2 = 400 km : 2 = 200 km

u = 2·π · 200 km

u ≈ 1.256,64 km

Dann wissen wir, dass sich die Geschwindigkeit ergibt aus:

\( \text{Geschwindigkeit} = \frac{\text{Strecke}}{\text{Zeit}} \) bzw. abgekürzt: \( v = \frac{s}{t} \)

\( v = \frac{s}{t} \qquad | s = 1.256,64 \text{ km} \text{ und } t = 4 \text{ h } \\ v = 314,16 \frac{km}{h} \)

gegeben: Fläche 50 m², Vergrößerung um 40 %

gesucht: Veränderung Radius in Prozent

Lösung:

Zuerst ermitteln wir die neue, vergrößerte Fläche:

A_nachher = A_vorher · 140 %

A_nachher = 50 m² · 140 %

A_nachher = 70 m²

Dann nutzen wir die Flächenformel für den Kreis, um die Kreisflächen zu bestimmen: A = π · r²

Einmal für A_vorher = 50 m² und einmal für A_nachher = 70 m²:

A_vorher = π · r²

50 m² = π · r² | : π

50 m² : π = r²

r² = 50 m² : π

r² ≈ 15,92 m²   | ±√

\( r_{1,2} ≈ ± \sqrt{15,92 \text{ m}^2} \)

Das negative Ergebnis kann vernachlässigt werden, da es keine negativen Strecken gibt.

\( r ≈ \sqrt{15,92 \text{ m}^2} \)

r_vorher ≈ 4 m

A_nachher = π · r²

70 m² = π · r² | : π

70 m² : π = r²

r² = 70 m² : π

r² ≈ 22,28 m²   | ±√

\( r_{1,2} ≈ ± \sqrt{22,28 \text{ m}^2} \)

Das negative Ergebnis kann vernachlässigt werden, da es keine negativen Strecken gibt.

\( r ≈ \sqrt{22,28 \text{ m}^2} \)

r_nachher ≈ 4,72 m

Um die prozentuale Veränderung zu ermitteln, setzen wir r_vorher und r_nachher ins Verhältnis:

\( p = \frac{r_{nachher}}{r_{vorher}} \\ p = \frac{4,72 \text{ m }}{4 \text{ m }} \\ p ≈ 1,18 \\ p ≈ 118 \% \)

p_Änderung = 118 % - 100 % = 18 %

Antwort: Wenn sich der Flächeninhalt um 40 % vergrößert, dann vergrößert sich der Radius um etwa 18 %.

gegeben: Kreissektor-Fläche = 25 cm², Kreisradius r = 4 cm

gesucht: 1. Kreisfläche, 2. Kreissektor-Winkel

Lösung:

1. Kreisfläche

Die Kreisfläche kann, da der Radius mit 4 cm gegeben ist, direkt bestimmt werden:

A = π · r²

A = π · (4 cm)²

A = π · 4² cm²

A = π · 16 cm²

A ≈ 50,27 cm²

2. Kreissektor-Winkel

Wir können eine Verhältnisgleichung aufstellen, indem wir die gesamte Kreisfläche der 360° (Vollwinkel des Kreises) gegenüberstellen sowie die Kreisfläche des Kreissektors dem unbekannten Winkel gegenüberstellen:

\( \frac{A_{Kreis}}{360°} = \frac{A_{Kreissektor}}{\alpha} \\ \frac{50,27 \text{ cm}^2}{360°} = \frac{25 \text{ cm}^2}{\alpha} \qquad | \text{ Kehrwert } \\ \frac{360°}{50,27 \text{ cm}^2} = \frac{\alpha}{25 \text{ cm}^2} \qquad | ·25 \text{ cm}^2 \\ \alpha = \frac{360°}{50,27 \text{ cm}^2} · 25 \text{ cm}^2 \\ \alpha = 179° \)

Antwort: Der Kreis hat eine Fläche von ca. 50,27 cm² und der Kreissektor spannt einen Winkel von ca. 179° auf.