AB: Lektion Kubische Gleichungen (Teil 2)

$$ x^3 + 13·x^2 + 52·x + 60 = 0 \\[10pt] \\ (x^3 + 13·x^2 + 52·x + 60) : (x + 2) = x^2 + 11·x + 30 \\ \underline{- (x^3 + 2·x^2) } \\ = 11·x^2 + 52·x + 60 \\ \underline{- (11·x^2 + 22·x) } \\ = 30·x + 60 \\ \underline{- (30·x + 60) } \\ = 0 $$

Wir erhalten also:

\( (x^2 + 11·x + 30)·(x + 2) = 0 \)

Wir müssen nur noch die Werte für x bestimmen, für die gilt:

\( (x^2 + 11·x + 30) = 0 \)

Mit der p-q-Formel erhalten wir:

\( x_2 = (-5) \text{ und } x_3 = (-6) \)

Damit haben wir die Lösungsmenge L = { (-2), (-5), (-6) }.

x³ - 125 = 0
x³ = 125

Wir können nun direkt die 3. Wurzel auf beiden Seiten ziehen und erhalten:

x = 5

Wir haben nur eine Lösung mit L = { 5 }.

Es fehlt das absolute Glied. Eine Lösung ist also x₁ = 0. Das heißt, wir klammern x also aus und erhalten:

x·(x² + 8·x + 12) = 0

Für mögliche andere Lösungen müssen wir den Term in der Klammer Null setzen:

x² + 8·x + 12 = 0

Wir wenden wieder die p-q-Formel an und erhalten:

x₂ = -2 und x₃ = -6

Unsere Lösung ist also: L = { 0, (-2), (-6) }.

Wir haben hier keine Lösung gegeben, setzen wir nun ganze Werte um 0 in die Gleichung ein, und schauen, ob diese Werte die Gleichung lösen:

x = 1   (?)
x³ - 6·x² - 88·x + 192 = 0   | x = 1
1 - 6 - 88 + 192 = 0
99 ≠ 0
→ x = 1 ist keine Lösung.

x = 2   (?)
x³ - 6·x² - 88·x + 192 = 0   | x = 2
8 - 24 - 176 + 192 = 0
0 = 0
→ x = 2 löst unsere Gleichung. Bilden wir den Linearfaktor zu x₁ = 2 mit (x - 2).

Führen wir nun die Polynomdivision durch:

$$ (x^3 - 6·x^2 - 88·x + 192) : (x - 2) = x^2 - 4·x - 96 \\ \underline{-(x^3 - 2·x^2)} \\ = \quad -4·x2 - 88·x + 192 \\ \underline{ - \quad (-4·x^2 + 8·x) } \\ = \qquad \qquad \quad -96·x + 192 \\ \underline{ - \qquad \qquad \quad (-96·x + 192) } \\ = \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 $$

Bestimmen wir nun die Nullstellen von x² - 4·x - 96 mit der p-q-Formel, so erhalten wir:
x₂ = -8 und x₃ = 12

Unsere Lösung ist somit L = { 2, -8, 12 }.

Wir bringen die Gleichung zuerst auf Normalform, indem wir die Gleichung durch 5 teilen und die rechte Seite auf 0 bringen:

$$ 5x^3 - 15·x^2 + 15·x = 5 \qquad | :5 \\ x^3 - 3·x^2 + 3·x = 1 \qquad | -1 \\ x^3 - 3·x^2 + 3·x - 1 = 0 $$

Wir testen ein paar Werte um 0 herum und sehen, dass x₁ = 1 eine Lösung ist. Wir dividieren durch den dazugehörigen Linearfaktor (x - 1):

$$ (x^3 - 3·x^2 + 3·x - 1) : (x - 1) = x^2 - 2·x + 1 \\ \underline{ - (x^3 - 1·x^2) } \\ = \qquad -2·x^2 + 3·x - 1 \\ \underline{ - \qquad (-2·x^2 + 2·x) } \\ = \qquad \qquad \qquad \quad 1·x - 1 \\ \underline{ - \qquad \qquad \qquad \qquad (x - 1) } \\ = \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 0 $$

Wir erkennen entweder direkt die 2. Binomische Formel oder wir wenden die p-q-Formel an und erhalten:
x₂ = 1 und x₃ = 1

Wir haben also die Lösung L = { 1 }.