AB: Lektion Lineare Gleichungssysteme (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Löse unter Verwendung des Einsetzungsverfahrens:
Das Einsetzungsverfahren ist etwas allgemeiner als das Gleichsetzungsverfahren. Hier braucht nur eine Gleichung umgeformt zu werden und diesen Teil muss man dann in die andere Gleichung einsetzen.
I: 6·x + 2·y = 6
II: y = -0,5·x - 0,5
6·x + 2·y = 6
y = -0,5·x - 0,5
Den Term für y bei der zweiten Gleichung nehmen wir und setzen ihn direkt in die erste Gleichung ein. Wichtig ist, die Klammern beim Einsetzen zu setzen.
6·x + 2·y = 6
6·x + 2·(-0,5·x - 0,5) = 6
6·x - x - 1 = 6 | +1
5·x = 7 | :5
x = \( \frac{7}{5} \) = \( \frac{14}{10} \) = 1,4
Damit in die zweite Gleichung:
y = -0,5·x - 0,5
y = -0,5·1,4 - 0,5
y = -1,2
L = {(1,4|-1,2)}
I: 7·x - 2·y = 4
II: 3·x + y = 11
7·x - 2·y = 4
3·x + y = 11
Die letzte Gleichung lässt sich schnell und leicht nach y auflösen. Tun wir das, können wir dies direkt in die erste Gleichung einsetzen.
7·x - 2·y = 4
y = 11 - 3·x
Mit der zweiten Gleichung in die erste:
7·x - 2·y = 4
7·x - 2·(11 - 3·x) = 4
7·x - 22 + 6·x = 4
13·x - 22 = 4 | +22
13·x = 26 | :2
x = 2
Damit nun in die obige Gleichung:
y = 11 - 3·2 = 11 - 6 = 5
L = {(2|5)}
I: 2·x + 3·y = 6
II: 2·x + y = -4
2·x + 3·y = 6
2·x + y = -4
Hier fallen sofort mehrere Möglichkeiten auf, um dieser Gleichung beizukommen. Entweder man löst nach 2·x auf und ersetzt das dann in der entsprechend anderen Gleichung oder man nimmt sich die zweite Gleichung und löst nach y auf um dies dann in der ersten Gleichung einsetzen zu können. Machen wir es hier, indem wir die zweite Gleichung nach 2·x auflösen und oben einsetzen:
I. 2·x + 3·y = 6
II'. 2·x = -4 - y
Einsetzen des Terms für 2·x in die Gleichung I, dabei wird das komplette 2·x ersetzt:
2·x + 3·y = 6
(-4 - y) + 3·y = 6
-4 - y + 3·y = 6 | +4
2·y = 10 | :2
y = 5
Jetzt noch y in eine der beiden Gleichungen eingesetzt:
2·x = -4 - 5
2·x = -9
x = -4,5
L{(-4,5|5)}
I: 5·x + 6·y = 15
II: x + 2·y = 5
5·x + 6·y = 15
x + 2·y = 5
Zweite Gleichung nach x auflösen und in erstere einsetzen.
5·x + 6·y = 15
x = 5 - 2·y
Einsetzen:
5·(5 - 2·y) + 6·y = 15
25 - 10·y + 6·y = 15
25 - 4·y = 15 | -15 +4·y
4·y = 10 | :4
y = 2,5
Einsetzen in die obige Gleichung:
x = 5 - 2·2,5
x = 0
L = {(0|2,5)}
I: 9·x - y = 41
II: 3·x - 11 = y
9·x - y = 41
3·x - 11 = y
Letzte Gleichung nach 3·x auflösen und einsetzen in die erste (man hätte auch direkt y einsetzen können, aber wir wollen zur Übung nicht immer den einfachsten Weg wählen).
9·x - y = 41 → 3·(3x) - y = 41
3·x = y + 11
Einsetzen:
3·(y + 11) - y = 41
3·y + 33 - y = 41 | -33
2·y = 8 | :2
y = 4
Damit in obige Gleichung:
3·x = 4 + 11 = 15 → x = 5
L = {(5|4)}