AB: Lektion Gaußverfahren III

Wir sehen direkt, dass bereits einige Koeffizienten 0 sind. Wir vertauschen unsere Gleichungen:

(III.) 3·x + 7·y-2·z = 16
(I.) 0·x + 3·y + 4·z = 26
(II.) 0·x + 0·y + 5·z =  25

Wir erkennen, dass unser LGS bereits die gewünschte Stufenform hat.

Wir lösen also von unten nach oben auf:

Aus II. folgt:
z = 5

Das setzen wir in I. ein und erhalten:

0·x + 3·y + 4·5 = 26
y = 2

Jetzt beide Variablen in III. einsetzen:

(III.) 3·x + 7·2-2·5 = 16

Daraus folgt:  x = 4

Als Lösung haben wir somit: L  = { (4|2|5) }

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5       | + (-1) · Gleichung I.
(III.) 10·x + 1·y + 8·z = 12        | + (-2) · Gleichung I.

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x-3·y-4·z = 6       | + Gleichung II.

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x-0·y-0·z = 8

Da in III. alle Koeffizienten gleich 0 sind, jedoch eine Konstante hinter dem Gleichheitszeichen steht, die ungleich 0 ist, folgt daraus, dass unser LGS keine Lösung besitzt. Wir erhalten als Lösungsmenge eine leere Menge:

L = { ( ) }

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5
(III.) 10·x + 10·y + 20·z = 10

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 5·x + 5·y + 10·z = 5           |  +  (-1) · I.
(III.) 10·x + 10·y + 20·z = 10   |  +  (-2) · I.

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x + 6·y + 8·z = 4    | + (-2) · II.  

(I.) 5·x + 2·y + 6·z = 3
(II.) 0·x + 3·y + 4·z = 2
(III.) 0·x + 0·y + 0·z = 0

Aus III. folgt nun, dass unser LGS unendlich viele Lösungen hat. Bestimmen wir nun die Form der Lösungen:

Wir setzen z = z, wir belassen also die Variable und suchen die Lösung in Abhängigkeit von z.

Aus II. folgt:
0·x + 3·y + 4·z = 2
3·y = 2 - 4·z
y = \( \frac{2}{3} - \frac{4}{3}·z \)

Setzen wir y nun in I. ein erhalten wir:

5·x + 2·(\( \frac{2}{3} \) - \( \frac{4}{3} \)·z)  + 6·z = 3
5·x + (\( \frac{4}{3} \) - \( \frac{8}{3} \)·z + 6·z = 3
5·x + \( \frac{10}{3} \)·z = \( \frac{5}{3} \)
5·x = \( \frac{5}{3} \) - \( \frac{10}{3} \)·z
x = \( \frac{5}{15} \) - \( \frac{10}{15} \)·z
x = \( \frac{1}{3} \) - \( \frac{2}{3} \)·z

Als Lösung erhalten wir \( L = \{ ( (\frac{1}{3} - \frac{2}{3}·z) | (\frac{2}{3} - \frac{4}{3}·z) | z ) \} \)

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 6·x + 5·y + 9·z = 94   | + (-3) ·I. 
(III.) -1·x + (7/2) ·y + (25/2) ·z = 13   | + (1/2) ·I.    

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 0·x + 2·y + 6·z = 4
(III.) 0·x + (8/2) ·y + (16/2) ·z = 13

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 0·x + 2·y + 6·z = 4
(III.) 0·x + 4·y + 13·z = 13     | + (-2) ·II.

(I.) 2·x + 1·y + 1·z = 30
(II.) 0·x + 2·y + 6·z = 4
(III.) 0·x + 0·y + 1·z = 5   

Aus III. folgt: z = 5

Setzen wir das in II. ein so erhalten wir: y = -13

Setzen wir z und y in I. ein dann bekommen wir x: x = 19

Unsere Lösung ist somit L = { ( 19 | -13 | 5 ) }

(I.) -4·x – 4·y – 2·z = -3  
(II.) -1·x + 4·y + 6·z = -8   |+( -1/4  ) · I.
(III.) -4·x – 1·y + 4·z = 0   |+(-1) · I.

(I.) -4·x – 4·y – 2·z = -3  
(II.) 0·x + 5·y + 5,5·z = -35/4     
(III.) 0·x+ 3·y + 6·z = 3   | + (-5/3) · II.

(I.) -4·x – 4·y – 2·z = -3  
(II.) 0·x + 5·y +5,5·z = -35/4     
(III.) 0·x+ 0·y +2,1·z = 147/20     

Nun lösen wir das LGS von unten nach oben:

Aus III. folgt:

2,1·z = 147/20   |:2,1
z = 3,5

Das setzen wir in II. ein:

5·y +5,5·3,5 = -35/4 
y = -6

Setzen wir in I. ein:

-4·x – 4·(-6) – 2·3,5 = -3  
x = 5

Als Lösung erhalten wir: L =  { ( 5 |-6 |3,5 ) }