AB: Lektion Lineare Gleichungssysteme (Teil 3)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Löse unter Verwendung des Additionsverfahrens:
Beim Additionsverfahren ist es immer das Ziel, durch Addition (oder Subtraktion) der Gleichungen eine Variable zu eliminieren. Dazu dürfen die Gleichungen auch miteinander multipliziert oder dividiert werden, es gelten die Regeln zur Äquivalenzumformung. Es ist ratsam, die Gleichungen mit römischen Zahlen zu benennen (das ist üblich, und wenn nicht römische Zahlen, dann sind die Gleichungen zumindest zu benennen).
Schreibweise ist entweder:
I. x + y = 10
oder aber:
x + y = 10 (I)
Anmerkung zu den Lösungen: Es gibt theoretisch unendlich viele Möglichkeiten, ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Nachfolgend stellen wir immer nur eine Lösungsvariante vor:
I: 15·x - 2·y = 44
II: 10·x - 3·y = 16
15·x - 2·y = 44 (I)
10·x - 3·y = 16 (II)
2· (I) und 3·(II)
30·x - 4·y = 88 (III)
30·x - 9·y = 48 (IV)
(III) - (IV)
30·x - 4·y = 88 (III)
5·y = 40 (V)
Aus (V) ergibt sich y = 8. Das eingesetzt in (I) und wir erhalten: 15·x - 2·8 = 44 → x = 4
L = {(4|8)}
I: 8·x - 3·y = 100
II: 7·x + 4·y = 167
8·x - 3·y = 100 (I)
7·x + 4·y = 167 (II)
4·(I) und 3·(II)
32·x - 12·y = 400 (III)
21·x + 12·y = 501 (IV)
(III) + (IV)
32·x - 12·y = 400 (III)
53·x = 901 (V)
Aus (V) ergibt sich x = 17. Damit in Gleichung (I) und es ergibt sich: 8·17 - 3·y = 100 → y = 12
L = {(17|12)}
I: 4·x + 3·y = 5
II: -4·x - 5·y = -11
4·x + 3·y = 5 (I)
-4·x - 5·y = -11 (II)
Hier kann man direkt die beiden Gleichungen addieren.
(I) + (II)
4·x + 3·y = 5 (I)
- 2·y = -6 (III)
Aus (III) ergibt sich y = 3. Damit in die Gleichung (I): 4·x + 3·3 = 5 → x = -1.
L = {(-1|3)}
I: 3·x - 13·y = -2
II: 2·x + 6·y = 160
3·x - 13·y = -2 (I)
2·x + 6·y = 160 (II)
2·(I) und 3·(II)
6·x - 26·y = -4 (III)
6·x + 18·y = 480 (IV)
(III) - (IV)
6·x - 26·y = -4 (III)
- 44·y = -484 (V)
Aus (V) ergibt sich y = 11. Damit in Gleichung (II): 2·x + 6·11 = 160 → x = 47.
L = {(47|11)}
I: 7·x + y = 10
II: -3·x - y = -6
7·x + y = 10 (I)
-3·x - y = -6 (II)
Beide Gleichungen kann man direkt addieren.
(I) + (II)
7·x + y = 10 (I)
4·x = 4 (III)
Aus (III) ergibt sich x = 1. Ddamit in die erste Gleichung: 7·1 + y = 10 → y = 3
L = {(1|3)}