AB: Lektion Lineare Gleichungssysteme (Teil 4)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu linearen Gleichungssystemen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Löse die LGS mit jeweils drei Unbekannten:
Um die drei Unbekannten benennen zu können, wird erst bei zwei Gleichungen eine Unbekannte eliminiert. Dann nimmt man diese zwei neuen Gleichungen und versucht eine weitere Unbekannte zu eliminieren. Dann kann man rückwärts die ganzen Unbekannten bestimmen.
I: 3·x - 2·y + 5·z = 13
II: -x + 3·y + 4·z = -1
III: 5·x + 6·y - z = 3
3·x - 2·y + 5·z = 13 (I)
-x + 3·y + 4·z = -1 (II)
5·x + 6·y - z = 3 (III)
Eliminieren von y im ersten Schritt. Dafür 3·(I) und 2·(II)
9·x - 6·y + 15·z = 39 (IV)
-2·x + 6·y + 8·z = -2 (V)
5·x + 6·y - z = 3 (III)
Die unveränderte Gleichung wird gerne als erstes gesetzt. Machen wir das auch:
(III) + (IV) und (III) - (V)
5·x + 6·y - z = 3 (III)
7·x +23·z = 37 (VI)
7·x -9·z = 5 (VII)
(VI) - (VII)
5·x + 6·y - z = 3 (III)
7·x +23·z = 37 (VI)
32·z = 32 (VIII)
Aus (VIII) ergibt sich z = 1. Das setzen wir in (VI) ein und erhalten x = 2. Das dann noch in (III) und wir haben y = -1.
Die Lösung kann angegeben werden mit x=2, y=-1, z=1 oder kürzer mit L = { (2|-1|1) }
I: 6·x + 4·y - z = 0
II: -7·x - 8·y - 3·z = 5
III: 4·x - 2·y + z = 22
6·x + 4·y - z = 0 (I)
- 7·x - 8·y - 3·z = 5 (II)
4·x - 2·y + z = 22 (III)
Als erstes eliminieren wir z. Dafür 3·(I) und 3·(III). Die Gleichung (II) setzen wir direkt als erste Zeile:
-7·x - 8·y - 3·z = 5 (II)
18·x + 12·y - 3·z = 0 (IV)
12·x - 6·y + 3·z = 66 (V)
(IV) - (II) und (II) + (V)
-7·x - 8·y - 3·z = 5 (II)
25·x + 20·y = -5 (VI)
5·x - 14·y = 71 (VII)
Nun rechnen wir (VI)/5 um x eliminieren zu können:
-7·x - 8·y - 3·z = 5 (II)
5·x + 4·y = -1 (VIa)
5·x - 14·y = 71 (VII)
(VIa) - (VII)
-7·x - 8·y - 3·z = 5 (II)
5·x + 4·y = -1 (VIa)
18y = -72 (VIII)
Aus (VIII) ergibt sich y = -4. Das in (VIa) eingesetzt und wir erhalten x = 3. z erhält man aus der Gleichung (II) mit z = 2.
Lösung ist L = {(3|-4|2)}
I: 2·x + 3·y + 4·z = 20
II: 3·x + 2·y + 5·z = 22
III: 4·x + 5·y + z = 17
2·x + 3·y + 4·z = 20 (I)
3·x + 2·y + 5·z = 22 (II)
4·x + 5·y + z = 17 (III)
Für die Eliminierung von x wird alles auf 12·x gebracht. Also: 6·(I), 4·(II) und 3·(III):
12·x + 18·y + 24·z = 120 (IV)
12·x + 8·y + 20·z = 88 (V)
12·x + 15·y + 3·z = 51 (VI)
(IV) - (V) und (IV) - (VI)
12·x + 18·y + 24·z = 120 (IV)
10·y + 4·z = 32 (VII)
3·y + 21·z = 69 (VIII)
3·(VII) und 10·(VIII)
12·x + 18·y + 24·z = 120 (IV)
30·y + 12·z = 96 (VIIa)
30·y + 210·z = 690 (VIIIb)
(VIIIb) - (VIIa)
12·x + 18·y + 24·z = 120 (IV)
30·y + 210·z = 690 (VIIIb)
198·z = 594 (IX)
Aus der (IX) erfahren wir: z = 3. Das in die (VIIIb) eingesetzt und wir erhalten y = 2. Dann noch in (IV) und wir haben x = 1.
L = {(1|2|3)}