AB: Lektion Schnittpunkt von linearen Graphen (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu Schnittpunkten linearer Graphen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Gib an, wie sich die linearen Graphen zueinander verhalten. Liegt ein Schnittpunkt vor, so berechne ihn. Prüfe zusätzlich, ob die Geraden senkrecht zueinander stehen.
f(x) = 2·x + 1 und g(x) = 2·x + 3485
Es fällt sofort auf, dass die Steigungen der beiden Funktionen identisch sind (m=2). Dadurch können sie sich nicht schneiden. Es ist nun zu überprüfen, ob sie identisch (aufeinander liegend) oder parallel (nebeneinander liegend) sind. Da sie einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt besitzen (1 und 3485), sind die Geraden zueinander parallel.
f(x) = -2·x - 2 und 3·g(x) = 6·x - 9
Hinweis: Bei der obigen Funktionsgleichung steht ein 3·g(x). Erinnert euch hierbei an die Äquivalenzumformungen. Diese erlauben eine Änderung einer Gleichung, sofern auf beiden Seiten das gleiche gerechnet wird. Hier wurden beide Seiten der Gleichung offensichtlich mit 3 multipliziert, sodass wir statt g(x) nun 3·g(x) vorfinden. Lasst euch also von einem Vorfaktor (so bezeichnet man die Zahl vor dem g(x)) nicht abschrecken, sondern wendet die bekannten Rechenregeln an: In diesem Fall sind beide Seiten durch 3 zu dividieren.
Die Geraden sollten erst einmal auf Normalform gebracht werden, weswegen die rechte Funktionsgleichung durch 3 dividiert wird. Wir erhalten → g(x) = 2·x - 3
Wir erkennen, dass die Geraden unterschiedliche Steigungen haben (-2 und 2), sodass sie sich in jedem Falle schneiden werden. Wo und ob orthogonal, das ist über den Schnittpunkt zu bestimmen.
Schnittpunkbestimmung durch Gleichsetzen:
-2·x - 2 = 2·x - 3 | +2·x +3
4·x = 1 | :4
x = \( \frac{1}{4} \) = 0,25
Das x = 0,25 wird nun in eine der beiden Funktionsgleichungen oben eingesetzt, damit wir den y-Wert ausrechnen können:
f(x) = -2·x - 2
f(0,25) = -2·0,25 - 2 = -0,5 - 2 = -2,5
Der Schnittpunkt befindet sich also bei S(0,25|-2,5).
Liegen sie orthogonal zueinander? Dies überprüfen wir mittels der Steigungen (die Steigung ist nur aus der Normalform abzulesen):
mf·mg = -2·2 = -4 ≠ -1
Sie schneiden sich also nicht im rechten Winkel.
f(x) = x und g(x) = -x + 2
Hier ist wiederum sofort zu erkennen, dass die Geraden weder identisch noch parallel sind, da die Steigungen unterschiedlich sind. So muss man den Schnittpunkt durch gleichsetzen bestimmen:
f(x) = g(x)
x = -x + 2 | +x
x+x = 2
2·x = 2 | :2
x = 1
Das x=1 setzen wir jetzt in eine der beiden Funktionen ein:
f(x) = x
f(1) = 1
Der Schnittpunkt ist also bei S(1|1) zu finden.
Prüfen wir noch auf Orthogonalität:
mf · mg = 1·(-1) = -1
Der Prüfwert ergibt -1, das heißt sie liegen senkrecht zueinander.
f(x) = -5·x + 10 und 5·g(x) = -25·x + 50
Hier muss zuallererst die rechte Funktionsgleichung in Normalform überführt werden. Dies ist durch Division mit 5 möglich → g(x) = -5·x + 10.
Nun ist die Steigung m = -5 und der y-Achsenabschnitt n = 10 in beiden Fällen dasselbe. Folglich sind die beiden Funktionsgleichungen identisch. Die Geraden liegen aufeinander, es gibt unendlich viele Schnittpunkte.
f(x) = -2·x - 2 und -2·g(x) = -x + 4
Die rechte Funktionsgleichung muss in die Normalform überführt werden. Dies ist durch Division mit -2 möglich → g(x) = \( \frac{1}{2} \)·x - 2.
Die Steigungen entsprechen sich nicht und so muss der Schnittpunkt durch gleichsetzen bestimmt werden:
f(x) = g(x)
-2·x - 2 = \( \frac{1}{2} \)·x - 2 | +2·x +2
0 = 2,5·x
2,5·x = 0 |:2,5
x = 0
Der y-Wert ergibt sich durch Einsetzen in eine der Gleichungen: f(0) = -2·0 - 2 = -2 mit S(0|-2).
Liegen die Geraden auch orthogonal zueinander?
mf · mg = -2 · \( \frac{1}{2} \) = -1
Ja, sie liegen orthogonal zueinander.