In der Lektion „Logarithmus“ haben wir gelernt, was der Logarithmus ist und wie wir ihn anwenden können, um unbekannte Exponenten zu berechnen. Nachfolgend findet ihr verschiedene Aufgaben zum Thema. Wendet euer Wissen an und zeigt, dass ihr alles verstanden habt. Viel Erfolg!

Alle Aufgaben kann man ohne Taschenrechner lösen.

Berechne die folgenden Logarithmus-Ausdrücke ohne Taschenrechner.

log₂4 = 2 → denn 2² = 4

log₂8 = 3 → denn 2³ = 8

log₂16 = 4 → denn 2⁴ = 16

log₃27 = 3 → denn 3³ = 27

log₅125 = 3 → denn 5³ = 125

log₁₀1000 = 3 → denn 10³ = 1000

log₁₀100.000 = 5 → denn 10⁵ = 100.000

log₂(-16) = nicht definiert → denn 2^x kann nie einen negativen Wert annehmen

log₄2 = 0,5 → denn 4^0,5 = \( 4^{\frac{1}{2}} \) = √4 = 2

log₈2 = \( \frac{1}{3} \) → denn \( 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} \) = 2

Beantworte die allgemeinen Fragen zu den Logarithmen.

Was berechnen wir mit dem Logarithmus?

Mit dem Logarithmus berechnen wir den Exponenten der Potenz.

Erkläre kurz Basis, Numerus und Logarithmuswert.

Bei log_a z = n ist a die Basis, z der Numerus und n der Logarithmuswert. Übertragen auf die Potenz: aⁿ = z

Ergänze die Logarithmusregel: log_ax + log_ay = …

log_ax + log_ay = log_a(x·y)

Ergänze die Logarithmusregel: log_ax – log_ay = …

log_ax - log_ay = log_a(x:y)
bzw. in Bruchschreibweise: log_ax - log_ay = log_a( \( \frac{x}{y} \) )

Ergänze die Logarithmusregel: log_ax^y = …

log_ax^y = y·log_ax

Warum gilt: 3^log^₃9 = 9 ?

log₃9 = 2 und damit 3^log₃9 = 3² = 9

Kann man einen Logarithmus mit anderen Logarithmen ausdrücken? Wie lautet die Regel?

Ja, jeder Logarithmus kann über Logarithmen mit anderen Basen ausgedrückt werden. Die Regel besagt: \( \log_{\textcolor{red}{a}}{x} = \frac{\log_{\textcolor{blue}{b}}{x}}{\log_{\textcolor{blue}{b}}{a}} \)

Drücke log₈64 mit Hilfe des Logarithmus zur Basis 2 aus.

\( \log_{\textcolor{red}{8}}{64} = \frac{\log_{\textcolor{blue}{2}}{64}}{\log_{\textcolor{blue}{2}}{8}} = \frac{6}{3} = 2 \\ \text{Probe: } \textcolor{#F00}{8}^{2} = 64 \)

Was ist der dekadische Logarithmus und welches Zeichen benutzt man für ihn?

Der dekadische Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10, also log₁₀ x. Man kann kürzer schreiben: lg x für log₁₀ x.

Was ist der natürliche Logarithmus und welches Zeichen benutzt man für ihn?

Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis e (Eulersche Zahl ≈ 2,71828), also log_e x. Man kann kürzer schreiben: ln x für log_e x.

Lösungen

AB: Lektion Logarithmus (Teil 2)