AB: Lektion Logarithmus (Teil 3)
In der Lektion „Logarithmus“ haben wir gelernt, was der Logarithmus ist und wie wir ihn anwenden können, um unbekannte Exponenten zu berechnen. Nachfolgend findet ihr verschiedene Aufgaben zum Thema. Wendet euer Wissen an und zeigt, dass ihr alles verstanden habt. Viel Erfolg!
Alle Aufgaben kann man ohne Taschenrechner lösen.
Nutze die Logarithmengesetze, um die Aufgaben zu berechnen. Die Lösung soll ohne Taschenrechner erfolgen.
log2(810) = 10·log28 = 10·3 = 30
log2(1610) = 10·log216 = 10·4 = 40
log3(815) = 5·log381 = 5·4 = 20
log4(\( \frac{1}{4} \)) = log4(4-1) = -1·log44 = -1·1 = -1
Alternative Berechnung:
log4(\( \frac{1}{4} \)) = log41 - log44 = 0 - 1 = -1
Erinnert euch hier auch an die Regel: loga1 = 0, da a0 = 1
log5(\( \frac{1}{125} \)) = log5(125-1) = -1·log5125 = -1·3 = -3
log25 + log2(\( \frac{2}{5} \)) = log2(5·\( \frac{2}{5} \)) = log22 = 1
log56,25 + log5100 = log5(6,25·100) = log5625 = 4
log51000 – log540 = log5(1000:40) = log525 = 2
Löse die Textaufgaben zum Logarithmus:
Wie berechnet man 1,04x = 1,5?
Ausführlich sieht die Berechnung wie folgt aus:
1,04x = 1,5 | Logarithmieren auf beiden Seiten
log 1,04x = log 1,5
| Logarithmusregel anwenden (das „hoch x“ geht nach vorne)
x·log 1,04 = log 1,5 | :log 1,04
x = log 1,5 : log 1,04
Jetzt haben wir x alleine auf einer Seite der Gleichung und können die beiden Logarithmen
mit dem Taschenrechner ausrechnen.
x = log 1,5 : log 1,04
x ≈ 0,02118929906993807 : 0,01703333929878035
x ≈ 10,3380350715076742
x ≈ 10,338
Probe:
1,04x = 1,5 | x ≈ 10,338
1,0410,338 = 1,5
1,5 = 1,5
Nach wie vielen Jahren sind 20.000 Euro Grundkapital bei einem Zinssatz von 4 % auf ein Kapital von 100.000 Euro angewachsen? Verwende als Ausgangspunkt die Zinseszinsformel.
K0 = 20.000 €
Kn = 100.000 €
p = 4 % = 0,04
Kn = K0 · (1 + p)n
100.000 € = 20.000 € · (1 + 0,04)n
100.000 € = 20.000 € · (1,04)n | :20.000 €
100.000 € : 20.000 € = (1,04)n
5 = 1,04n | ln
ln( 5 ) = ln(1,04n) | Logarithmusregel anwenden
ln( 5 ) = n·ln(1,04) | :ln(1,04)
ln( 5 ) : ln(1,04) = n
n = ln( 5 ) : ln(1,04)
n = 41,0354
Probe:
Kn = K0 · (1 + p)n
Kn = 20.000 € · (1 + 0,04)41,0354
Kn = 20.000 € · (1,04)41,0354
Kn ≈ 100.000 €
Antwort: Um ein Kapital von 20.000 Euro mittels Zinseszins bei einem Zinssatz von 4 % auf 100.000 Euro zu erhöhen, bedarf es ca. 41,0354 Jahre.
Ein Kapital soll sich bei einem Zinssatz von 3,5 % verdoppeln. Wie viele Jahre muss es angelegt werden?
Doppeltes Kapital: Kn = 2·K0
Kn = K0 · (1 + p)n
2·K0 = K0 · (1 + 3,5 %)n
2·K0 = K0 · (1 + 0,035)n
2·K0 = K0 · (1,035)n | :K0
2·K0:K0 = 1,035n
2 = 1,035n | ln
ln 2 = ln(1,035n)
ln 2 = n·ln(1,035) | :ln(1,035)
ln 2 : ln(1,035) = n
n = 20,14879
Probe:
Kn = K0 · (1 + p)n
Kn = K0 · (1 + 0,035)20,14879
Kn = K0 · (1,035)20,14879
Kn = K0 · 2
Antwort: Wir benötigen etwa 20,14879 Jahre, um ein Kapital bei einem Zinssatz von 3,5 % zu verdoppeln.
Das Gewicht eines Elefanten nimmt monatlich um 10 % zu. Wann wog ein jetzt 800 kg schwerer Elefant 20 kg?
Wie bereits beim Zinseszins gesehen, kann Wachstum wie folgt ausgedrückt werden: Kn = K0 · (1 + p)n. Entsprechend lautet auch die allgemeine Wachstumsformel.
In dieser Aufgabe ist das ursprüngliche Gewicht (sozusagen das Grundkapital) gesucht und das jetzige Gewicht (das aktuelle Kapital) gegeben. Die Zunahme des Gewichtes beträgt 10 % monatlich (was hier als Zinssatz interpretiert werden kann):
Kn = K0 · (1 + p)n
800 kg = 20 kg · (1 + 10 %)n
800 kg = 20 kg · (1,10)n | :20 kg
800 kg : 20 kg = 1,10n
40 = 1,1n | ln
ln(40) = ln(1,1n)
ln(40) = n·ln(1,1) | :ln(1,1)
ln(40):ln(1,1) = n
n = 38,704
Antwort: Vor 38,704 Monaten hat der Elefant 20 kg gewogen.