AB: Newtonverfahren I
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zum Newtonverfahren, mit denen ihr euer Wissen testen könnt.
Auf einem Stahlgerüst steht ein kugelförmiger Wassertank mit einem Innendurchmesser von 10 m. Aus statischen Gründen dürfen höchstens 471 000 Liter Wasser eingefüllt werden.
Berechne, bis zu welcher Höhe h (gemessen vom Boden des Tankes) das Wasser im Tank stehen darf.
Hinweis: Das Volumen eines solchen Kugelabschnitts berechnet sich aus \( V=\frac{\pi}{3} · h^{2} · (3 r-h) \). Dabei ist \( r \) der Kugelradius und \( h \) die Höhe des Kugelabschnitts.
Zur Erinnerung: 1 000 l = 1 m3
Als erstes wandeln wir die gegebenen Werte um: \( V = 471~000 \text{ l} = 471 \text{ m}^{3} \)
\( r = d : 2 = 10 \text{ m} : 2 = 5 \text{ m} \)
Dann stellen wir die gegebene Formel so um, dass h nur auf einer Seite steht:
\( V = \frac{\pi}{3} · h^{2} · (3 r-h) \quad | : \frac{\pi}{3} \\ \frac{3V}{\pi} = h^2 · (3·r - h) \\ \frac{3V}{\pi} = h^2 · 3·r - h^2 · h \\ \frac{3V}{\pi} = 3·r·h^2 - h^3 \quad | ~ r = d : 2 = 10 \text{ m} : 2 = 5 \text{ m} ; \space V = 471 \text{ m}^{3} \\ \frac{ 3·471 \text{ m}^{3} }{ \pi } = 3·(5 \text{ m})·h^2 - h^3 \\ \frac{ 3·471 \text{ m}^{3} }{ \pi } = 15 \text{ m}·h^2 - h^3 \)
Nun verwenden wir erneut die Ausgangsformel und setzen die bekannten Werte ein und stellen dann wie folgt um:
\( V = \frac{\pi}{3} · h^{2} ·(3r - h) \\ V = \frac{\pi}{3} · h^{2}·3r - \frac{\pi}{3} · h^{2}·h \\ V = \frac{\pi}{3} · h^{2}·3·r - \frac{\pi}{3} · h^{3} \\ V = \pi · r · h^{2} - \frac{\pi}{3} · h^{3} \qquad | ~ r = 5 \\ V = 5 · \pi · h^{2} - \frac{\pi}{3} · h^{3} \)
An der Stelle ist V nur von h abhängig, da h die einzige Unbekannte ist. Wir können also festhalten (die Einheiten schreiben wir ausnahmsweise nicht mit):
\( V(h) = 5 · \pi · h^{2} - \frac{\pi}{3} · h^{3} \\ V(h) = 5 · \pi · h^{2} - \frac{\pi}{3} · h^{3} \qquad | ~ V(h) = 471 \text{ m}^{3} \\ 471 = 5 · \pi · h^{2} - \frac{\pi}{3} · h^{3} \qquad | ~ - 471 \\ 5 · \pi · h^{2} - \frac{\pi}{3} · h^{3} - 471 = 0 \)
Sortieren wir die kubische Gleichung nach den Potenzen:
\( - \frac{\pi}{3} · h^{3} + 5 · \pi · h^{2} - 471 = 0 \)
Als Plot: ~plot~ -pi/3*x^3 + 5*pi*x^2-471;[[-10|15|-70|70]] ~plot~ Die Lösung ist die erste positive Nullstelle des Graphen.
Jetzt suchen wir uns einen Startwert und wenden das Newtonverfahren an:
\( f(h) = - \frac{\pi}{3} · h^{3} + 5 · \pi · h^{2} - 471 \)
Ableiten:
\(
f'(h) = -\pi·h^{2} + 10·\pi·h
\)
Newtonverfahren mit: \( h_{i+1} = h_i - \frac{f(h_i)}{f'(h_i)} \)
| hi | f(hi) | f'(hi) | hi+1 |
| 8 | -1,8555 | 50,265 | 8,0369 |
| 8,0369 | -0,0136 | 49,5657 | 8,0372 |
| 8,0372 | 0,0013 | 49,5599 | 8,0372 |
Die Lösung ist also h ≈ 8,0372 m
Bis zu einer Höhe von ca. 8,0372 m (gemessen vom Boden des Tankes) darf das Wasser im Tank stehen.