Berechne alle folgenden Potenzaufgaben ohne Taschenrechner.

Berechne alle nachstehenden Potenzaufgaben, versuch es vorteilhaft.

Achtung: Die Division ist stets von links nach rechts auszuführen.

3⁵ · 3⁶ = 3^{5 + 6} = 3¹¹

3⁵ : 3⁶ = 3^{5 - 6} = 3^-1

\( (\frac{10}{5})^5 \) = \( (\frac{2}{1})^5 = 2^5 = 32 \)

\( (\frac{1}{4})^5 · (\frac{8}{3})^5 \) = \( ( \frac{1}{4} · \frac{8}{3} )^5 = ( \frac{1·8}{4·3} )^5 = ( \frac{8}{12} )^5 = ( \frac{2}{3} )^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} \)

\( (\frac{6}{10})^{-5} · (\frac{12}{20})^{5} \) = \( (\frac{3}{5})^{-5} · (\frac{3}{5})^5 = (\frac{3}{5})^{-5+5} = (\frac{3}{5})^0 = 1 \)

\( (\frac{2}{4})^{-4} \) = \( \frac{2^{-4}}{4^{-4}} \) = 2^-4 : 4^-4 = 2^-4 : (4)^-4 = 2^-4 : (2²)^-4 = 2^-4 : 2^2·(-4) = 2^-4 : 2^-8 = 2^{-4 - (-8)} = 2^{-4 + 8} = 2⁴ = 16

Hier sind auch andere Weg der Berechnung möglich. Zum Beispiel: \( (\frac{2}{4})^{-4} = \frac{1}{2^4} : \frac{1}{4^4} = \frac{1}{2^4} · 4^4 = \frac{4^4}{2^4} = \frac{2^8}{2^4} = 2^4 = 16 \)

\( (\frac{1}{3})^{-2} · (\frac{1}{3})^{-4} \) = \( (\frac{1}{3})^{-2 + (-4)} = \frac{1}{3}^{-6} = (3^{-1})^{-6} = 3^{(-1)·(-6)} = 3^6 = 729 \)

\( ( (\frac{3}{4})^{2} )^4 \) = \( (\frac{3}{4})^{2·4} = (\frac{3}{4})^8 \)

(-3)⁵ · (-3⁵) = (-3)⁵ · (-3⁵) = ( (-1)·(3) )⁵ * (-1·3⁵) = (-1)⁵ · (3)⁵ · (-1)·3⁵ = (-1)⁵ · (-1) · 3⁵ · 3⁵ = (-1)⁶ · 3¹⁰ = 3¹⁰

Hier lässt sich schneller rechnen, indem man die Regel nutzt, dass ein ungerader Exponent bei negativer Basis zu einem negativen Wert führt, also (-3)⁵ = -3⁵, denn dann können wir aufstellen:
(-3)⁵ · (-3⁵) = (-3⁵) · (-3⁵) = (-1)·3⁵ · (-1)·3⁵ = 3⁵ · 3⁵ = 3¹⁰

(-3)⁰ · (2²) = 1 · 2² = 4

Lösungen

AB: Lektion Potenzen (Teil 4)