AB: Lektion Potenzfunktionen (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den Potenzfunktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Bestimme eine Funktionsgleichung der Form f(x) = a · xn aus den gegebenen Punkten.
Wir setzen die Wertepaare in die Funktion ein und erhalten jeweils zwei Gleichungen.
P1(2|-224) und P2(1|-7)
-224= a · (2)n
-7 = a · (1)n
Aus der zweiten Gleichung können wir direkt a berechnen:
-7 = a
Setzen wir a nun in die erste Gleichung ein:
-224 = (-7) · (2)n | :(-7)
(\( \frac{224}{7} \)) = (2)n | log
log(32) = log(2) · n | :log(2)
log(32) : log(2) = n
n = 5
Damit haben wir unsere Funktion:
f(x) = (-7) · x5
P1(5|12,5) und P2(9|40,5)
12,5 = a · (5)n
40,5 = a · (9)n
a = 12,5 : (5)n
a = 40,5 : (9)n
12,5 : (5)n = 40,5 : (9)n | ·(5)n
12,5 = 40,5 · (5)n : (9)n | :(40,5)
12,5 : (40,5)= (5)n : (9)n
\( \frac{25}{81} \) = (5 : (9))n
\( \frac{25}{81} \) = (\( \frac{5}{9} \))n | log
log(\( \frac{25}{81} \)) = n · log(\( \frac{5}{9} \)) | :log()
log(\( \frac{25}{81} \)) : log(\( \frac{5}{9} \)) = n
n = 2
Somit haben wir:
f(x) = a · x2
Setzen wir eines der Wertepaare ein, erhalten wir:
12,5 = a · 52
12,5 = a · 25 | :25
0,5 = a
Wir haben somit:
f(x) = 0,5 · x2
P1(4|160) und P2(1,2|4,32)
160 = a · (4)n
4,32 = a · (1,2)n
a = 160 : (4)n
a = 4,32 : (1,2)n
160 : (4)n = 4,32 : (1,2)n | ·(4)n
160 = 4,32 · (4)n : (1,2)n | :4,32
160 : 4,32 = (4)n : (1,2)n
37,04 = (4 : (1,2))n
37,04 = (\( \frac{40}{12} \))n | log
log (37,04) = log(\( \frac{40}{12} \)) · n | :log(\( \frac{40}{12} \))
log (37,04) : log(\( \frac{40}{12} \)) = n
n = 3
Wir haben damit:
f(x) = a · x3
Setzen wir jetzt einen der Punkte ein, um unser a zu bestimmen:
160 = a · 43
160 = a · 64 | :64
160 : 64 = a
a = 2,5
Unsere Funktion lautet somit:
f(x) = 2,5 · x3