AB: Pythagoras an Dreiecken (Erweitert)
Mit dem Satz des Pythagoras lassen sich alle Strecken berechnen, sofern wir ein rechtwinkliges Dreieck erkennen und entsprechende Längen gegeben haben. Versuche die rechtwinkligen Dreiecke bei folgenden Aufgaben zu finden und wende den Satz des Pythaogras an, um die fehlenden Strecken zu berechnen.
Benutze den Satz des Pythagoras und dein Wissen über Dreiecke, um die genannten Strecken zu berechnen.
Gleichschenkliges Dreieck: a = b = 3,175 cm, c = 5,5 cm. Gesucht: Höhe hc
\( h^2 + p^2 = a^2 \\ h^2 = a^2 - p^2 \quad | \; p = \frac{c}{2} \\ h^2 = a^2 - (\frac{c}{2})^2 \\ h = \sqrt{a^2 - (\frac{c}{2})^2} \\ h = \sqrt{(3,175\;cm)^2 - (\frac{5,5\;cm}{2})^2} \\ h = \sqrt{2,5181\;cm^2} \approx 1,587\;cm \)
Gleichseitiges Dreieck mit \( a = 4 \frac{1}{3} \text{ cm} \). Gesucht: Höhe ha
\( h^2 + p^2 = a^2 \\ h^2 = a^2 - p^2 \quad | \; p = \frac{a}{2} \\ h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 \\ h = \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2} \\ h = \sqrt{(4 \frac{1}{3}\;cm)^2 - (\frac{4 \frac{1}{3}\;cm}{2})^2} \\ h = \sqrt{14,0833\;cm^2} \approx 3,753\;cm \)
Gleichschenkliges Dreieck mit \( a = b = 2 \frac{2}{25} \text{ cm}\), hc = \( \frac{15}{8} \) cm. Gesucht: Seite c
\( h^2 + p^2 = a^2 \\ p^2 = a^2 - h^2 \quad | \; p = \frac{c}{2} \\ (\frac{c}{2})^2 = a^2 - h^2 \\ \frac{c}{2} = \sqrt{a^2 - h^2} \quad | \; ·2 \\ c = 2·\sqrt{(2 \frac{2}{25}\;cm)^2 - (\frac{15}{8}\;cm)^2} \\ c = 2·\sqrt{0,810775\;cm^2} \\ c \approx 1,8\;cm \)
Gleichseitiges Dreieck mit h = 3,03 cm, q = 1,75 cm. Gesucht: Seite a
Kurz: \( a = 2·q = 2·1,75\;cm \\ a = 3,5\;cm \)
Lang: \( a^2 = h^2 + q^2 \\ a = \sqrt{h^2 + q^2} \\ a = \sqrt{(3,03\;cm)^2 + (1,75\;cm)^2} \\ a = \sqrt{12,2434\;cm^2} \approx 3,5\;cm \)
Gleichschenkliges Dreieck mit c = 7 cm, hc = \( c · \frac{3}{4} \) cm. Gesucht: Seiten a, b
\( h_c = c · \frac{3}{4} \;cm = 7 · \frac{3}{4} \;cm \\ h_c = 5,25 \;cm \\ a^2 = h^2 + (\frac{c}{2})^2 \\ a = \sqrt{h^2 + (\frac{c}{2})^2} \\ a = \sqrt{(5,25\;cm)^2 + (\frac{7\;cm}{2})^2} \\ a = \sqrt{39,8125\;cm^2} \approx 6,31\;cm \\ a = b = 6,31\;cm \)
Gleichseitiges Dreieck mit p = 2,2² cm. Gesucht: Seite a, Strecke h
\( a = 2·p = 2·2,2^2\;cm \\ a = 9,68\;cm \\ a^2 = h^2 + p^2 \\ h = \sqrt{a^2 - p^2} \\ h = \sqrt{(9,68\;cm)^2 - (2,2^2\;cm)^2} \\ h = \sqrt{70,2768\;cm^2} \approx 8,383\;cm \)