AB: Pythagoras und Hypotenusen
Der Satz des Pythagoras mit a² + b² = c² gilt für alle rechtwinkligen Dreiecke in der Ebene. Wenn wir nur c² kennen, so können a und b beliebige Werte annehmen. Die folgenden Aufgaben testen, ob ihr auch das verstanden habt.
Löse die Aufgaben zu den Hypotenusen in den rechtwinkligen Dreiecken.
Die Hypotenuse c ist mit 7 cm bekannt. Gib drei mögliche Varianten eines solchen Dreiecks mit Katheten a, b rechnerisch an.
Lösungsformel:
a² + b² = c²
a² = c² - b²
\(
a = \sqrt{c^2 - b^2}
\\
a = \sqrt{49\;cm^2 - b^2}
\)
Beispiel für Variante 1:
\( b = 3\;cm \)
\( a = \sqrt{49\;cm^2 - (3\;cm)^2} = \sqrt{40\;cm^2} \approx 6,325\;cm \)
Beispiel für Variante 2:
\( b = 4\;cm \)
\( a = \sqrt{49\;cm^2 - (4\;cm)^2} = \sqrt{36\;cm^2} = 6\;cm \)
Beispiel für Variante 3:
\( b = 2\;cm \)
\( a = \sqrt{49\;cm^2 - (2\;cm)^2} = \sqrt{45\;cm^2} \approx 6,708\;cm \)
Die Hypotenuse d ist mit 10 cm bekannt. Gib drei mögliche Varianten eines solchen Dreiecks mit Katheten e, f rechnerisch an.
Lösungsformel:
e² + f² = d²
e² = d² - f²
\(
e = \sqrt{d^2 - f^2}
\\
e = \sqrt{100\;cm^2 - f^2}
\)
Beispiel für Variante 1:
\( f = 3\;cm \)
\( e = \sqrt{100\;cm^2 - (3\;cm)^2} = \sqrt{91\;cm^2} \approx 9,539\;cm \)
Beispiel für Variante 2:
\( f = 5\;cm \)
\( e = \sqrt{100\;cm^2 - (5\;cm)^2} = \sqrt{75\;cm^2} \approx 8,66\;cm \)
Beispiel für Variante 3:
\( f = 7\;cm \)
\( e = \sqrt{100\;cm^2 - (7\;cm)^2} = \sqrt{51\;cm^2} \approx 7,141\;cm \)
Die Hypotenuse e ist mit \( \frac{1}{2} \) m bekannt. Gib drei mögliche Varianten eines solchen Dreiecks mit Katheten x, y rechnerisch in cm an.
Lösungsformel:
x² + y² = e²
x² = e² - y²
\(
x = \sqrt{e^2 - y^2}
\\
x = \sqrt{(\frac{1}{2}\;m)^2 - y^2} = \sqrt{\frac{1}{4}\;m - y^2} = \sqrt{25\;cm - y^2}
\)
Beispiel für Variante 1:
\( y = 1\;cm \)
\( x = \sqrt{25\;cm^2 - (1\;cm)^2} = \sqrt{24\;cm^2} \approx 4,9\;cm \)
Beispiel für Variante 2:
\( y = 2\;cm \)
\( x = \sqrt{25\;cm^2 - (2\;cm)^2} = \sqrt{21\;cm^2} \approx 4,583\;cm \)
Beispiel für Variante 3:
\( y = 3\;cm \)
\( x = \sqrt{25\;cm^2 - (3\;cm)^2} = \sqrt{16\;cm^2} = 4\;cm \)
Eine Kathete ist mit 4 cm bekannt. Die andere Kathete ist doppelt so lang. Wie lang sind fehlende Kathete und Hypotenuse?
Gegeben: Kathete a = 4 cm
Gesucht: b und c
Lösung für b:
b = 2·a
b = 2 · 4 cm
b = 8 cm
Lösung für c:
a² + b² = c² | a = 4 cm, b = 8 cm
(4 cm)² + (8 cm)² = c²
\(
c = \sqrt{(4\;cm)^2 + (8\;cm)^2}
\\
c = \sqrt{80\;cm^2}
\\
c \approx 8,944\;cm
\)
Eine Kathete ist mit 5 cm bekannt. Die andere Kathete ist halb so lang. Wie lang sind fehlende Kathete und Hypotenuse?
Gegeben: Kathete a = 5 cm
Gesucht: b und c
Lösung für b:
b = 0,5·a
b = 0,5 · 5 cm
b = 2,5 cm
Lösung für c:
a² + b² = c² | a = 4 cm, b = 8 cm
(5 cm)² + (2,5 cm)² = c²
\(
c = \sqrt{(5\;cm)^2 + (2,5\;cm)^2}
\\
c = \sqrt{31,25\;cm^2}
\\
c \approx 5,59\;cm
\)
Eine Kathete ist mit 15 cm bekannt. Die Hypotenuse ist doppelt so lang. Wie lang sind fehlende Kathete und Hypotenuse?
Gegeben: Kathete a = 15 cm
Gesucht: b und c
Lösung für c:
c = 2·a
c = 2 · 15 cm
c = 30 cm
Lösung für b:
a² + b² = c²
b² = c² - a² | a = 15 cm, c = 30 cm
b² = (30 cm)² - (15 cm)²
\(
b = \sqrt{675\;cm^2}
\\
b \approx 25,98\;cm
\)