AB: Lektion Satz des Pythagoras (Teil 3)
Teste hier dein Wissen zur Lektion „Satz des Pythagoras“. Schreibe den Lösungsweg vollständig auf, um eventuelle Fehler besser nachvollziehen zu können.
Löse die Aufgaben aus dem Alltag mit dem Satz des Pythagoras:
Ein Fußballfeld ist 90 m lang und 45 m breit. Ein Spieler rennt diagonal über das Spielfeld, von einer Eckfahne zur anderen. Wie viele Meter muss er rennen?
Zeichnen wir die Diagonale ein, so erkennen wir, dass sich zwei rechtwinklige Dreiecke ergeben:
Berechnung der Diagonale d:
(90 m)² + (45 m)² = d²
d² = 8100 m² + 2025 m²
d² = 10125 m²
d = \( \sqrt{10125 m^2} \)
d ≈ 100,62 m
Antwort: Die Diagonale des Fußballfeldes ist 100,62 m lang.
Wenn der Fußballspieler aus voriger Aufgabe 20 km/h läuft, wie lange dauert sein Sprint?
Um dies lösen zu können, benötigen wir die Formel für die Geschwindigkeit. Sie lautet:
\( \text{Geschwindigkeit} = \frac{Weg}{Zeit} \)
abgekürzt als:
\( v = \frac{s}{t} \)
Umstellen nach Weg s:
\( v = \frac{s}{t} \qquad | ·t \\ s = v · t \)
Umstellen nach Zeit t:
\( s = v · t \qquad | :v \\ t = \frac{s}{v} \)
Einsetzen der Werte und lösen:
$$ t = \frac{s}{v} \\ t = \frac{100,62 \;m}{ 20 \;km/h} \\ t = \frac{100,62 \;m}{ 20000 \;m/h} \\ t = 0,005031 h \\ t = 0,005031 h · 60 min/h \\ t = 0,30186 min \\ t = 0,30186 min · 60 s/min \\ t = 18,1116 s $$
Antwort: Der Sprint entlang der Diagonale dauert ca. 18,1116 Sekunden.
Ein Baum ist 4,50 m hoch und steht von uns 10 m entfernt. Wie lang müsste das Seil sein, das eine Verbindung herstellt zwischen uns (Bodenhöhe) und dem obersten Ende des Baumes?
Zuerst eine Skizze anfertigen:
Wir sehen ein rechtwinkliges Dreieck aus Baum, Abstandsstrecke und gespanntem Seil. Folglich können wir den Satz des Pythagoras anwenden (Länge des Seils s):
s² = (4,5 m)² + (10 m)²
s² = 20,25 m² + 100 m²
s² = 120,25 m²
s = \( \sqrt{120,25 \;m^2} \)
s ≈ 10,97 m
Antwort: Das Seil muss ca. 10,97 m lang sein, um eine Verbindung zwischen uns und dem Baum herzustellen.
Eine Leiter lehnt gegen eine Wand. Die Leiter ist 5,50 m lang, die Leiter steht unten 2,80 m von der Wand entfernt. Wie hoch ist die Wand?
Zuerst Skizze anfertigen:
Wir können den Satz des Pythagoras benutzen, um die Wandhöhe h auszurechnen:
h² + (2,8 m)² = (5,5 m)² | - (2,8 m)²
h² + (2,8 m)² - (2,8 m)² = (5,5 m)² - (2,8 m)²
h² = (5,5 m)² - (2,8 m)²
h² = 30,25 m² - 7,84 m²
h² = 30,25 m² - 7,84 m²
h² = 22,41 m²
h = \( \sqrt{22,41 \;m^2} \)
h ≈ 4,734 m
Antwort: Die Wand ist ca. 4,734 m hoch.
Die Höhe eines Zirkuszeltes wird halbiert. Vorher war das Zelt 20 m hoch und wurde von 30 m langen Seilen gehalten. Wie lang müssen die neuen Seile sein?
Vorher:
Nachher:
Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen wir den Abstand a von Zeltmitte zur Seilbefestigung auf dem Boden kennen (bzw. die dritte Seite des Dreiecks). Dieser Abstand bleibt unverändert. Wir berechnen ihn mit dem Satz des Pythagoras:
(20 m)² + a² = (30 m)² | -(20 m)²
a² = (30 m)² - (20 m)²
a² = 900 m² - 400 m²
a² = 500 m²
a = \( \sqrt{500 \;m^2} \)
a ≈ 22,36 m
Dann ermitteln wir die neue Höhe des Zeltes:
h2 = h : 2
h2 = 20 m : 2
h2 = 10 m
Jetzt kennen wir a und h2 und können die neue Seillänge c berechnen (vgl. Abbildung oben):
a² + h2² = c²
(22,36 m)² + (10 m)² = c²
c² = (22,36 m)² + (10 m)²
c² = 499,97 m² + 100 m²
c² = 599,97 m²
c = \( \sqrt{599,97 \;m^2} \)
c ≈ 24,49 m
Antwort: Die neuen Seile des in der Höhe halbierten Zeltes müssen ca. 24,49 m lang sein.
Wenn die beiden kurzen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die gleiche Länge "a" haben, wie lang ist dann die lange Seite?
Zuerst die Skizze:
Wir verwenden den Satz des Pythagoras, um c allgemein zu bestimmen:
a² + a² = c²
c² = a² + a²
c² = 2·a²
c = \( \sqrt{2·a^2} \)
Antwort: Die längste Seite des Dreiecks ergibt sich aus \( \sqrt{2·a^2} \).