AB: Lektion Quadratische Funktionen (Teil 2)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den quadratischen Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Überführe in die Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt an.
Es ist Ziel die Funktionsgleichung in der Form f(x) = a(x-v)² + n darzustellen, da hier der Scheitelpunkt zu S(v|n) abgelesen werden kann. Um die Scheitelpunktform zu erhalten, bedient man sich der quadratischen Ergänzung.
f(x) = x² - 4·x + 9
x² - 4·x + 9 | Betrachtung der ersten beiden Summanden
= (x² - 4·x) + 9 | In der Klammer auf zweite binomische Formel ergänzen. Dazu erkennen, dass b = 2 sein muss, denn nur dann ist a² - 2·a·b + b² erfüllt. Also ergänzen von b² - b² → 2² - 2²
= (x² - 4·x + 2² - 2²) + 9 | Binomische Formel bilden
= ((x-2)² - 2²) + 9
= (x-2)² - 4 + 9
= (x-2)² + 5
Somit kann der Scheitelpunkt zu S(2|5) bestimmt werden.
g(x) = 3·x² - 6·x + 1
3·x²-6·x+1 | Ausklammern von 3 bei den ersten beiden Summanden
= 3·(x²-2·x) +1 | In der Klammer auf die zweite binomische Formel ergänzen. Dazu erkennen, dass b = 1 sein muss, denn nur dann ist a² - 2·a·b + b² erfüllt. Also ergänzen von b² - b² → 1² - 1² = 1 - 1
= 3·(x² - 2·x + 1 - 1) + 1 | Binomische Formel bilden
= 3·((x-1)² - 1) + 1 | Klammer auflösen
= 3·(x-1)² - 3·1 +1
= 3·(x-1)² - 2
Somit kann der Scheitelpunkt zu S(1|-2) bestimmt werden.
h(x) = 5·x² + 110·x + 574
5·x² + 110·x + 574 | Ausklammern von 5 bei den ersten beiden Summanden
= 5·(x² + 22·x) + 574 | In der Klammer auf die erste binomische Formel ergänzen. Dazu erkennen, dass b = 11 sein muss, denn nur dann ist a² + 2·a·b + b² erfüllt. Also ergänzen von b² - b² → 11² - 11²
= 5·(x² + 22·x + 11² - 11²) + 574 | Binomische Formel bilden
= 5·((x+11)² - 11²) + 574
= 5 ((x+11)² - 121) + 574 | Klammer auflösen
= 5·(x+11)² - 5·121 + 574
= 5· (x+11)² - 31
Somit kann der Scheitelpunkt zu S(-11|-31) bestimmt werden.
k(x) = 0,5·x² + x - 3,5
0,5·x² + x - 3,5 | Ausklammern von 0,5 bei den ersten beiden Summanden
= 0,5·(x² + 2·x) - 3,5|In der Klammer auf die erste binomische Formel ergänzen. Dazu erkennen, dass b = 1 sein muss, denn nur dann ist a² + 2·a·b + b² erfüllt. Also ergänzen von b² - b² → 1² - 1² = 1 - 1
= 0,5·(x² + 2·x + 1 - 1) - 3,5 | Binomische Formel bilden
= 0,5·((x+1)² - 1) - 3,5 | Klammer auflösen
= 0,5·(x+1)² - 0,5·1 - 3,5
= 0,5·(x+1)² - 4
Somit kann der Scheitelpunkt zu S(-1|-4) bestimmt werden.
m(x) = 2·x² + 4·x + 2
2·x² + 4·x + 2 | Ausklammern von 2 bei den ersten beiden Summanden
= 2·(x² + 2·x) + 2 | In der Klammer auf die erste binomische Formel ergänzen. Dazu erkennen, dass b = 1 sein muss, denn nur dann ist a² + 2·a·b + b² erfüllt. Also ergänzen von b² - b² → 1² - 1² = 1-1
= 2·(x² + 2·x + 1 - 1) + 2 | Binomische Formel bilden
= 2·((x+1)² - 1) + 2 | Klammer auflösen
= 2· (x+1)² - 2·1 + 2
= 2·(x+1)² + 0 ~ = 2·(x+1)²
Somit kann der Scheitelpunkt zu S(-1|0) bestimmt werden.