AB: Lektion Quadratische Funktionen (Teil 3)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den quadratischen Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Nutze die p-q-Formel zur Nullstellenbestimmung:
Die für den ersten Teil benötigte p-q-Formel lautet
\( x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \)
Um diese anwenden zu können, muss erstens die Funktion 0 gesetzt werden und zudem die entstehende quadratische Gleichung die Form x² + p·x + q = 0 aufweisen, die sogenannte Normalform.
f(x) = x² + x - 6
f(x) = x² + x - 6 = 0
x² + x - 6 = 0 | Liegt schon in der Normalform vor. p-q-Formel anwenden, wobei p = 1 und q = -6
$$ x_{1,2} = -( \frac{1}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{1}{2} )^{2} - (-6)} \\ x_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{ \frac{1}{4} + 6 } \\ x_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{ 6,25 } \\ x_{1,2} = -0,5 \pm 2,5 \\ x_1 = -0,5 + 2,5 = 2 \\ x_2 = -0,5 - 2,5 = -3 $$
Die Nullstellen von f(x) lauten also x1 = 2 und x2 = -3.
g(x) = 5·x² + 5·x - 30
g(x) = 5·x² + 5·x - 30 = 0
5·x² + 5·x - 30 = 0 | Auf Normalform bringen, indem mit 5 dividiert wird
$$ x_{1,2} = -( \frac{1}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{1}{2} )^{2} - (-6)} \\ x_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{ \frac{1}{4} + 6 } \\ x_{1,2} = -0,5 \pm \sqrt{ 6,25 } \\ x_{1,2} = -0,5 \pm 2,5 \\ x_1 = -0,5 + 2,5 = 2 \\ x_2 = -0,5 - 2,5 = -3 $$
Die Nullstellen von g(x) lauten also x1 = 2 und x2 = -3.
h(x) = 3·x² - 12·x + 15
h(x) = 3·x² - 12·x + 15 = 0
3·x² - 12·x + 15 = 0 | Auf Normalform bringen, indem mit 3 dividiert wird
x² - 4·x + 5 = 0 | Liegt nun in der Normalform vor. p-q-Formel anwenden, wobei p = -4 und q = 5
$$ x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ x_{1,2} = -( \frac{-4}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-4}{2} )^{2} - 5} \\ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{ \frac{16}{4} - 5} \\ x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{-1} $$
Der Radikand (also der Inhalt unter der Wurzel) ist negativ. Diese aber ist nicht definiert. Damit gibt es offensichtlich keine Nullstellen für h(x). Das sieht man auch am Graphen:
k(x) = 2·x² + 12·x + 18
k(x) = 2·x² + 12·x + 18 = 0
2·x² + 12·x + 18 = 0 | Auf Normalform bringen, indem mit 2 dividiert wird
x² + 6·x + 9 = 0 | Liegt nun in der Normalform vor. p-q-Formel anwenden, wobei p = 6 und q = 9
$$ x_{1,2} = -( \frac{p}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{p}{2} )^{2} - q} \\ x_{1,2} = -( \frac{6}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{6}{2} )^{2} - 9} \\ x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{3^2 - 9} \\ x_{1,2} = -3 \pm 0 \\ x_{1,2} = -3 $$
Es gibt also eine doppelte Lösung bzw. Nullstelle für k(x) mit x1,2 = -3.
Ein geübtes Auge hätte auch in der dritten Zeile sofort die erste binomische Formel erkennen und verwenden dürfen (es sei denn, die Aufgabenstellung wie hier verbietet es):
x² + 6·x + 9 = 0
(x+3)² = 0
Das führt ebenfalls zum Ergebnis, denn wenn man hier x = -3 setzt, so erhält man auch links die 0.