AB: Lektion Quadratische Funktionen (Teil 6)
Nachfolgend findet ihr Aufgaben zu den quadratischen Funktionen, mit denen ihr euer neues Wissen testen könnt.
Der Bogen einer parabelförmigen Brücke lässt sich durch die Funktion mit der Gleichung f(x) = -0,02·x² + 1,4·x - 12 beschreiben.
Fertige eine Skizze an.
Um eine Skizze anzufertigen ist eine Wertetabelle ganz sinnvoll. Hierfür können wir abschätzen, welcher Bereich sinnvoll ist. Bestimmen wir dazu zuerst die Nullstellen.
f(x) = 0
-0,02·x² + 1,4·x - 12 = 0 | :(-0,02)
x² - 70·x + 600 = 0 | p-q-Formel mit p = -70 und q = 600
x1 = 10
x2 = 60
Eine sinnvolle Tabelle wäre dann sicher etwas in der Form:
| x | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| y | -12 | 0 | 8 | 12 | 12 | 8 | 0 | -12 |
Die x-Werte werden dafür einfach gewählt und die entsprechenden y-Werte dazu ausgerechnet, in dem sie in die Ausgangsfunktion eingesetzt werden.
Das kann nun gezeichnet werden:
Berechne die Höhe der Brücke.
Um die Höhe zu berechnen, braucht man nur den Scheitelpunkt zu bestimmen. Eine Möglichkeit wäre hier die Scheitelpunktform.
-0,02·x² + 1,4·x - 12
= -0,02·(x² - 70·x) - 12 | binomische Formel ergänzen
= -0,02·(x² - 70·x + 35² - 35²) - 12
= -0,02·((x - 35)² - 35²) - 12
= -0,02·(x - 35)² - 35²·(-0,02) - 12
= -0,02·(x-35)² + 24,5 - 12
= -0,02·(x-35)² + 12,5
Der Scheitelpunkt ist damit S(35|12,5). Also ist der höchste Punkt der Brücke bei 12,5 m.
Berechne die Länge der Brücke (die Brücke sei bei y = 0 aufgelegt, also der x-Achse).
Um die Länge der Brücke anzugeben, braucht es die Nullstellen von f(x). Diese hatten wir schon berechnet. Diese waren x1 = 10 und x2 = 60. Folglich ist die Brücke 50 m lang.
Wie lang ist ein Pfeiler, wenn er 10 Meter von einem Anfangspunkt entfernt steht.
Die Entfernung „10 m vom Anfangspunkt“ kann über x = 20 beschrieben werden. Nun nur noch f(20) bestimmen:
f(20) = -0,02·20² + 1,4·20 - 12 = 8
Der Pfeiler hat also eine Höhe von 8 m.
(Dies hätte man auch direkt aus der Wertetabelle ablesen können, wo f(20) schon berechnet wurde.)