AB: Lektion Quadratische Gleichungen (Teil 1)
Nachfolgend findest du Aufgaben zu den quadratischen Gleichungen, mit denen du dein neues Wissen testen kannst.
Nutze die abc-Formel oder p-q-Formel zur Lösung der Gleichungen:
Die Lösung sei bei Aufgabe 1 exemplarisch für abc-Formel und p-q-Formel gezeigt. In den darauf folgenden Aufgaben wird dann die p-q-Formel verwendet.
3x² - 3x - 18 = 0
Mit der abc-Formel:
$$ a = 3, b = -3, c = -18 \\ x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4·a·c}}{2·a} \\ x_{1,2} = \frac{-(-3) ± \sqrt{(-3)^2 - 4·3·(-18)}}{2·3} \\ x_{1,2} = \frac{-(-3) ± \sqrt{9 + 216}}{6} \\ x_{1,2} = \frac{3 ± \sqrt{225}}{6} \\ x_1 = \frac{3-15}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \\ x_2 = \frac{3+15}{6} = \frac{18}{6} = 3 $$
Mit der p-q-Formel:
Die Gleichung muss zuerst durch 3 dividiert werden.
$$ 3x^2 - 3x - 18 = 0 \qquad | :3 \\ x^2 - 1x - 6 = 0 \\ x^2 + (-1)·x + (-6) = 0 \qquad | \text{ mit p = -1 und q = -6 } \\ x_{1,2} = -\frac{p}{2} ± \sqrt{ (\frac{p}{2})^2 - q } \\ x_{1,2} = -\frac{-1}{2} ± \sqrt{ (\frac{-1}{2})^2 - (-6) } \\ x_{1,2} = \frac{1}{2} ± \sqrt{6,25} \\ x_1 = 0,5 - 2,5 = -2 \\ x_2 = 0,5 + 2,5 = 3 $$
Demnach ist L = {-2; 3}.
5x² - 25x + 30 = 0
Für die p-q-Formel wird wieder durch 5 dividiert.
$$ x² - 5x + 6 = 0 \qquad | \text{ mit p = -5 und q = 6 } \\ x_{1,2} = -\frac{-5}{2} ± \sqrt{ (\frac{-5}{2})^2 -6 } \\ x_{1,2} = \frac{5}{2} ± \sqrt{\frac{25}{4} - \frac{24}{4}} \\ x_{1,2} = 2,5 ± 0,5 \\ x_1 = 2,5 - 0,5 = 2 \\ x_2 = 2,5 + 0,5 = 3 $$
Demnach ist L = {2; 3}.
12x² - 12 = 0
Für die p-q-Formel wird erst durch 12 dividiert.
$$ x^2 - 1 = 0 \qquad | \text{ mit p = 0 und q = -1 } $$
Ja, richtig bemerkt, das würde man eigentlich nicht mit der p-q-Formel lösen, so aber ist es in der Aufgabenstellung verlangt.
$$ x_{1,2} = -\frac{0}{2} ± \sqrt{ (\frac{0}{2})^2 - (-1) } \\ x_{1,2} = ±\sqrt{1} = ±1 \\ x_1 = 1 \\ x_2 = -1 $$
Also L = {-1; 1}
x² + 0,2x = 6,75
Zuerst 6,75 auf die linke Seite bringen, dann direkt die p-q-Formel anwenden.
$$ x^2 + 0,2x - 6,75 = 0 \qquad | \text{ mit p = 0,2 und q = -6,75 } \\ x_{1,2} = -\frac{0,2}{2} \pm \sqrt{ ( \frac{0,2}{2} )^{2} - (-6,75)} \\ x_{1,2} = -0,1 ± \sqrt{0,01 + 6,75} \\ x_{1,2} = -0,1 ± 2,6 \\ x_1 = -0,1 - 2,6 = -2,7 \\ x_2 = -0,1 + 2,6 = 2,5 $$
Folglich ist die Lösungsmenge L = {-2,7; 2,5}.
2x² - 10,4x + 11,9 = 0
Dividiere durch 2, dann p-q-Formel anwenden.
$$ x^2 - 5,2x + 5,95 = 0 \qquad | \text{ mit p = -5,2 und q = 5,95 } \\ x_{1,2} = -( \frac{-5,2}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-5,2}{2} )^{2} - 5,95} \\ x_{1,2} = 2,6 ± \sqrt{6,76 - 5,95} \\ x_{1,2} = 2,6 ± 0,9 \\ x_1 = 2,6 - 0,9 = 1,7 \\ x_2 = 2,6 + 0,9 = 3,5 $$
Und somit haben wir L = {1,7; 3,5}.