AB: Lektion Quadratische Gleichungen (Teil 5)
Nachfolgend findest du Aufgaben zu den quadratischen Gleichungen, mit denen du dein neues Wissen testen kannst.
Löse die nachfolgenden Gleichungen:
x² + 4 = 0
Bringe die 4 auf die andere Seite der Gleichung, dann kann eventuell die Wurzel gezogen werden.
x² = -4
Da x² stets positiv ist, kann der Wert -4 nie angenommen werden. Die Lösungsmenge ist hier also leer: L = { }.
(x + 3)² = 4
Man könnte hier links die binomische Formel erkennen und auflösen. Dann die 4 nach links befördern und die p-q-Formel anwenden. Einfacher ist es aber, direkt die Wurzel zu verwenden, was hier problemlos möglich ist, da wir keine Summen haben. Tut man dies, ist aber rechts das doppelte Vorzeichen zu beachten.
$$ (x+3)^2 = 4 \qquad | ± \sqrt{\phantom{x}} \\ x+3 = ±2 \qquad | -3 \\ x_{1,2} = -3 ± 2 \\ x_1 = -3-2 = -5 \\ x_2 = -3+2 = -1 $$
Damit L = {-5; -1}.
4x - 2x² = 2
Hier die 2 nach links führen. Dann direkt die abc-Formel verwenden oder noch den Vorfaktor 1 bei x² schaffen und schließlich die p-q-Formel verwenden.
$$ 4x-2x^2 = 2 \qquad | -2 \\ -2x^2 + 4x - 2 = 0 \qquad | :(-2) \\ x^2 -2x + 1 = 0 $$
Man kann nun die zweite binomische Formel erkennen.
$$ (x-1)^2 = 0 $$
Die Nullstellen sind direkt abzulesen. Es ist x1,2 = 1.
Also L = {1}.
12x² - 144x = -432
$$ 12x^2 - 144x = -432 \qquad | +432 \\ 12x^2 - 144x + 432 = 0 $$
Hier sollte man wohl mit 12 erst ausklammern. Das wird einfacher:
$$ 12·(x^2 - 12x + 36) = 0 $$
Wiederum hilft die binomische Formel weiter.
$$ 12·(x - 6)^2 = 0 $$
Wir haben also die doppelte Lösung x1,2 = 6. Die Lösungsmenge ist also L = {6}.
(x - 2)² = 0
Hier ist ein direktes Erkennen der Lösung möglich:
L = {2}