AB: Gemischte Rechenaufgaben X
I. Geradengleichungen
Berechnen Sie den Anstieg der Geraden durch folgende Punkte:
\( \mathrm{A}(-2 \mid -1) \quad \mathrm{B}(3 \mid 4) \)
Gegeben: \( \mathrm{A}(-2 \mid -1) \quad \mathrm{B}(3 \mid 4) \)
Gesucht: \( a_1 \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}·x + a_{0}
\\
a_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-1)}{3 - (-2)} = \frac{5}{5} = 1
\)
\( \mathrm{C}(-2 \mid 4) \quad \mathrm{D}(3 \mid -1) \)
Gegeben: \( \mathrm{C}(-2 \mid 4) \quad \mathrm{D}(3 \mid -1) \)
Gesucht: \( a_1 \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}·x + a_{0}
\\
a_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-1 - 4}{3 - (-2)} = \frac{-5}{5} = -1
\)
\( \mathrm{S}(4 \mid 1) \quad \mathrm{T}(-4 \mid -3) \)
Gegeben: \( \mathrm{S}(4 \mid 1) \quad \mathrm{T}(-4 \mid -3) \)
Gesucht: \( a_1 \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}·x + a_{0}
\\
a_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-3 - 1}{-4 - 4} = \frac{-4}{-8} = \frac{1}{2}
\)
\( \mathrm{P}(-1 \mid 0) \quad \mathrm{Q}(2 \mid 6) \)
Gegeben: \( \mathrm{P}(-1 \mid 0) \quad \mathrm{Q}(2 \mid 6) \)
Gesucht: \( a_1 \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}·x + a_{0}
\\
a_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{2 - (-1)} = \frac{6}{3} = 2
\)
\( \mathrm{E}(0 \mid -2) \quad \mathrm{F}(-2 \mid 4) \)
Gegeben: \( \mathrm{E}(0 \mid -2) \quad \mathrm{F}(-2 \mid 4) \)
Gesucht: \( a_1 \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}·x + a_{0}
\\
a_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-2)}{-2 - 0} = \frac{6}{-2} = -3
\)
\( \mathrm{R}(-4 \mid 3,5) \quad \mathrm{O}(3 \mid 0) \)
Gegeben: \( \mathrm{R}(-4 \mid 3,5) \quad \mathrm{O}(3 \mid 0) \)
Gesucht: \( a_1 \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}·x + a_{0}
\\
a_{1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - \frac{7}{2}}{3 - (-4)} = -\frac{7}{2} : 7 = -\frac{7}{2}·\frac{1}{7} = -\frac{1}{2}
\)
II. Ausklammern
Klammern Sie die höchste Potenz von \( x \) aus.
Beispiel: \( x^{3}-2 x^{2}+4 x-1=x^{3}\left(1-\frac{2}{x}+\frac{4}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}\right) \)
\( 2 x^{3}+5 x^{2}-3 x+4 \)
\( 2 x^{3}+5 x^{2}-3 x+4=x^{3}\left(2+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^{2}}+\frac{4}{x^{3}}\right) \)
\( 2 x^{2}-8 x+6 \)
\( 2 x^{2}-8 x+6=x^{2}\left(2-\frac{8}{x}+\frac{6}{x^{2}}\right) \)
\( 3 x-1 \)
\( 3 x-1=x\left(3-\frac{1}{x}\right) \)
\( -\frac{5}{2} x^{2}+\frac{7}{3} x-4 \)
\( -\frac{5}{2} x^{2}+\frac{7}{3} x-4=x^{2}\left(-\frac{5}{2}+\frac{7}{3 x}-\frac{4}{x^{2}}\right) \)
\( x^{3}+1,1 x \)
\( x^{3}+1,1 x=x^{3}\left(1 + \frac{1,1}{x^2} \right) \)
\( 2 x+\frac{1}{x} \)
\( 2 x+\frac{1}{x}=x\left(2+\frac{1}{x^{2}}\right) \)