AB: Gemischte Rechenaufgaben XI
I. Polynomdivision
Führen Sie die Polynomdivision aus. Beachten Sie, dass auch ein Rest bleiben kann.
Beispiel A:
\(
\frac{x^{2}-2 x+4}{x-3} \Rightarrow \\[1pt]
\left(x^{2}-2 x+4\right):(x-3)=x+1+\frac{7}{x-3} \\
\frac{-\left(x^{2}-3 x\right)}{\quad x+4} \\
\quad \frac{-(x-3)}{\qquad 7} _{← \scriptsize{\text{ist Rest}}}
\)
Beispiel B:
\(
\frac{-3 x^{2}+3}{x^{2}+7 x} \\
\left(-3 x^{2}+3\right):\left(x^{2}+7 x\right)=-3+\frac{21 x+3}{x^{2}+7 x} \\
\frac{-\left(-3 x^{2}-21 x\right)}{\qquad 21 x+3} _{← \scriptsize{\text{Term ist Rest}} }
\)
\( \frac{2 x-5}{2 x+3} \)
\( (2 x-5):(2 x+3)=1-\frac{8}{2 x+3} \\ \frac{-(2 x+3)}{ \qquad -8}_{ ← \scriptsize{ \text{Rest}}} \)
\( \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1} \)
\( \left(x^{2}+x\right):\left(x^{2}-1\right)=1+\frac{1+x}{x^{2}-1} \\ \frac{-\left(x^{2}-1\right)}{\qquad 1+x} _{ ← \scriptsize{ \text{Rest}}} \)
\( \frac{4 x+1}{x-2} \)
\( (4 x+1):(x-2)=4+\frac{9}{x-2} \\ -\frac{(4 x-8)}{ \qquad 9} _{ ← \scriptsize{ \text{Rest}}} \)
\( \frac{3 x^{2}-3}{4 x^{2}} \)
\( (3 x^{2}-3) : 4 x^{2} = \frac{3}{4}-\frac{3}{4 x^{2}} \\ \frac{-3x^2}{ \qquad -3} _{ ← \scriptsize{ \text{Rest}}} \)
\( \frac{x^{2}}{x+1} \)
\( x^{2}:(x+1) = x - 1 + \frac{1}{x+1} \\ \frac{-\left(x^{2}+x\right)}{ \quad -x} \\ \frac{ \quad -(-x - 1)}{ \qquad \quad 1 }_{ ← \scriptsize{ \text{Rest}}} \)
\( \frac{x^{2}-4}{x-2} \)
\( (x^2 - 4):(x - 2) = x + 2 \\ \frac{-(x^2 - 2x) }{ \qquad 2x} \\ \quad ~ ~ \frac{ -(2x - 4)}{ \qquad 0 } \)
II. Gauß-Verfahren
Lösen Sie mit dem Gauß-Verfahren.
\( I: 25a - 5b + c = 6 \\ II: 9a - 3b + c = -4 \\ III: 9a + 3b + c = 14 \)
Es gibt viele verschiedene Wege, solch ein LGS zu lösen. Einen Weg zeigt für diese Aufgabe der Rechner LGS Pro.
Ein weiterer möglicher Lösungsweg wäre:
\( I: 25a - 5b + c = 6 \qquad |·(-\frac{9}{25}) \\ II: 9a - 3b + c = -4 \qquad |·(-1) \\ \underline{ III: 9a + 3b + c = 14 } \)
\( III: 9a + 3b + c = 14 \\ Ia: \frac{24}{5} + \frac{16}{25}c = \frac{296}{25} \\ \underline{ IIa: \qquad \qquad 6b = 18 } \quad |:6 \\ \qquad \qquad \qquad \quad b = 3 \)
\( \text{b in Ia: } \\ \frac{24}{5}·3 + \frac{16}{25} c = \frac{296}{25} \qquad |-\frac{72}{5} \\ \frac{16}{25} c = -\frac{64}{25} \quad |:\frac{16}{25} \\ c = -4 \)
\( \text{b, c in III:} \\ 9a + 3·3 + (-4) = 14 \\ 9a + 5 = 14 \quad |-5 \\ 9a = 9 \\ a = 1 \)