AB: Gemischte Rechenaufgaben XII
I. Geradengleichungen
Berechnen Sie die Gleichung der Geraden durch folgende Punkte:
\( \mathrm{A}(-2 \mid-1) \quad \mathrm{B}(3 \mid 14) \)
Gegeben: \( A(-2,-1): B(3,14) \)
Gesucht: \( f(x) \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}x + a_{0} \\
a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{14-(-1)}{3-(-2)} = \frac{15}{5} = 3
\)
\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = 3x + a_{0} \\ f(3) = 3·3 + a_{0} = 14 \qquad |-9 \\ a_{0} = 5 \)
Funktionsgleichung: \( f(x) = 3x + 5 \)
\( C(0 \mid 0) \quad D(3 \mid 1) \)
Gegeben: \( C(0 \mid 0) \quad D(3 \mid 1) \)
Gesucht: \( f(x) \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}x + a_{0} \\
a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{1 - 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}
\)
\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = \frac{1}{3}x + a_{0} \\ f(3) = \frac{1}{3}·3 + a_{0} = 1 \qquad |-1 \\ a_{0} = 0 \)
Funktionsgleichung: \( f(x) = \frac{1}{3}x \)
\( S(4 \mid 2) \quad T(7 \mid 2) \)
Gegeben: \( S(4 \mid 2) \quad T(7 \mid 2) \)
Gesucht: \( f(x) \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}x + a_{0} \\
a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{2 - 2}{7 - 4} = \frac{0}{3} = 0
\)
Funktionsgleichung: \( f(x) = 2 \)
\( \mathrm{P}(1 \mid 1) \quad \mathrm{Q}(2 \mid 6) \)
Gegeben: \( \mathrm{P}(1 \mid 1) \quad \mathrm{Q}(2 \mid 6) \)
Gesucht: \( f(x) \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}x + a_{0} \\
a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{6 - 1}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5
\)
\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = 5x + a_{0} \\ f(1) = 5·1 + a_{0} = 1 \qquad |-5 \\ a_{0} = -4 \)
Funktionsgleichung: \( f(x) = 5x - 4 \)
\( \mathrm{E}(-3 \mid 4) \quad \mathrm{F}\left(\frac{1}{3} \mid \frac{2}{3}\right) \)
Gegeben: \( \mathrm{E}(-3 \mid 4) \quad \mathrm{F}\left(\frac{1}{3} \mid \frac{2}{3}\right) \)
Gesucht: \( f(x) \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}x + a_{0} \\
a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{\frac{2}{3} - 4}{\frac{1}{3} - (-3)} = \frac{ -\frac{10}{3} }{ \frac{10}{3} } = -1
\)
\( a_1 \text{ in } f(x): \\ f(x) = (-1)·x + a_{0} \\ f(-3) = (-1)·(-3) + a_{0} = 4 \qquad |-3 \\ a_{0} = 1 \)
Funktionsgleichung: \( f(x) = -x + 1 \)
\( \mathrm{R}(3 \mid 4) \quad \mathrm{O}(3 \mid 7) \)
Gegeben: \( \mathrm{R}(3 \mid 4) \quad \mathrm{O}(3 \mid 7) \)
Gesucht: \( f(x) \)
Lösung:
\(
f(x) = a_{1}x + a_{0} \\
a_{1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{7 - 4}{3 - 3} = \frac{ 3 }{ 0 } = \text{n.d.}
\)
Nicht lösbar. Es ist keine Funktion, denn der Stelle \( x = 3 \) wird mehr als ein y-Wert zugeordnet.
II. Begriffe
Wiederholen Sie die Begriffe Tangente, Sekante und Passante und veranschaulichen Sie diese drei Geraden an einem Kreis.
Tangente = jede Gerade, die nur einen Punkt mit dem Kreis gemeinsam hat (Berührpunkt)
Sekante = jede Gerade, die durch zwei Punkte einer Kreislinie (Kreisperipherie) geht
Passante = jede Gerade, die keinen gemeinsamen Punkt mit dem Kreis hat (ihn nicht berührt)
