AB: Gemischte Rechenaufgaben XIV
I. Gauß-Verfahren
Lösen Sie mit dem Gauß-Verfahren.
\( I: \quad 4a - 2b + c = 0 \\ II: \quad 4a + 2b + c = 4 \\ III: \quad 9a + 3b + c = 10 \)
Es gibt viele verschiedene Wege, solch ein LGS zu lösen. Einen Weg zeigt für diese Aufgabe der Rechner LGS Pro.
Ein weiterer möglicher Lösungsweg wäre:
\( I: \quad 4a - 2b + c = 0 \\ II: \quad 4a + 2b + c = 4 \quad |·(-1) \\ \underline{ III: \quad 9a + 3b + c = 10 \quad |·(-\frac{4}{9}) } \\ I: \quad 4a - 2b + c = 0 \\ IIa: \quad -4b + 0 = -4 \quad |-4b=-4 → b = 1 \\ \underline{ IIIa: \quad -\frac{10}{3}b + \frac{5}{9}c = -\frac{40}{9} } \)
\( \text{b in IIIa: } \\ - \frac{10}{3}·1 + \frac{5}{9} c = -\frac{40}{9} \quad | +\frac{10}{3} \\ \frac{5}{9} c = -\frac{10}{9} \quad | ·\frac{9}{5} \\ c = -2 \)
\( \text{b, c in I: } \\ 4a - 2·1 - 2 = 0 \qquad | +4 \\ 4a = 4 \qquad | :4 \\ a = 1 \)
\( I: \quad 9a - 3b + c = 3 \\ II: \quad a + b + c = -3 \\ III: \quad 25a + 5b + c = 7 \)
Es gibt viele verschiedene Wege, solch ein LGS zu lösen. Einen Weg zeigt für diese Aufgabe der Rechner LGS Pro.
Ein weiterer möglicher Lösungsweg wäre:
\( I: \quad 9a - 3b + c = 3 \qquad |·25 \\ II: \quad a + b + c = -3 \qquad |·(-9) \\ \underline{ III: \quad 25a + 5b + c = 7 } \quad |·(-9) \\ I: \quad 9a - 3b + c = 3 \\ IIa: \quad -12b - 8c = 30 \\ \underline{ IIIa: \quad -120b + 16c = 12 } \quad |:(-10) \\ I: \quad 9a - 3b + c = 3 \\ IIa: \quad -12b - 8c = 30 \\ \underline{ IIIb: \quad -9,6c = 28,8 } \quad |:(-9,6) \\ \qquad \qquad \qquad c = -3 \)
\( \text{c in IIa: } \\ -12b - 8·(-3) = 30 \qquad |-24 \\ -12b = 6 \qquad | :(-12) \\ b = -\frac{1}{2} \)
\( \text{b, c in I: } \\ 9a - 3·\left(-\frac{1}{2}\right) - 3 = 3 \qquad | +15 \\ 9a = 4,5 \\ a = \frac{1}{2} \)
\( I: \quad x + y + 3z= 6 \\ II: \quad 2x + 3y + 5z = 9 \\ III: \quad -3x - 4y - 2z = -3 \)
Es gibt viele verschiedene Wege, solch ein LGS zu lösen. Einen Weg zeigt für diese Aufgabe der Rechner LGS Pro.
Ein weiterer möglicher Lösungsweg wäre:
\( I: \quad x + y + 3z = 6 \quad | ·2 \quad | ·3 \\ II: \quad 2x + 3y + 5z = 9 \quad |·(-1) \\ \underline{ III: \quad -3x - 4y - 2z = -3 } \\ I: \quad x + y + 3z = 6 \\ IIa: \quad -y + z = 3 \\ \underline{ IIIa: \quad -y + 7z = 15 } \\ I: \quad x + y + 3z = 6 \\ IIa: \quad -y + z = 3 \\ \underline{ IIIb: \quad 6z = -12 } \\ \qquad \qquad z = 2 \)
\( \text{z in IIa: } \\ -y + 2 = 3 \qquad |-2 \quad |:(-1) \\ x = -1 \\ \text{y, z in I: } \\ x + (-1) + 3·2 = 6 \quad |-5 \\ x = 1 \)