AB: Gemischte Rechenaufgaben XV
I. Polynomfunktionen (ganzrationale Funktionen)
1.1. Bestimmen Sie folgende Eigenschaften der Polynomfunktion \( f \):
- Symmetrie
- Schnittpunkt mit der y-Achse
- Nullstellen
- Faktordarstellung des Funktionsterms und Vielfachheit der Nullstellen
1.2. Erstellen Sie eine Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen der Funktion \( f \) in einem geeigneten Intervall.
1.3. Lesen Sie aus der Zeichnung die Extrempunkte und die Wendepunkte ab. (Hinweis: Es handelt sich hier um ganzzahlige Werte.)
1.4. Geben Sie die Monotonie- und Krümmungsintervalle an.
\( f(x) = x^{3} -3x + 2 \)
1.1 Eigenschaften der Polynomfunktion
\( f(x) = x^{3} -3x + 2 \)
→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ \( S_y (0|2) \)
→ Nullstelle erraten mit \( x_{N1} = 1 \) → Linearfaktor \( (x-1) \)
Polynomdivision:
\(
\left(x^{3}-3 x+2\right):(x-1)=x^{2}+x-2
\\
\frac{-\left(x^{3}-x^{2}\right)}{x^{2}-3 x}
\\
\frac{-\left(x^{2}-x\right)}{-2 x+2}
\\
\frac{-(-2 x+2)}{R: 0}
\)
p-q-Formel zum Lösen von \( x^2 + x - 2 = 0 \)
\(
x_{N2,3} = -\left( \frac{1}{2} \right) \pm \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 - (-2) }
\\
x_{N2,3} = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{ 2,25 }
\\
x_{N2,3} = -\frac{1}{2} \pm 1,5
\)
\(
x_{N2} = 1
\\
x_{N3} = -2
\)
Faktordarstellung:
\(
f(x) = (x-1)·(x-1)·(x+2)
\\
f(x) = (x-1)^2·(x+2)
\)
Nullstellen:
\( x_{N1,2} = 1 \) (doppelte Nullstelle)
\( x_{N3} = -2 \) (einfache Nullstelle)
1.2 Wertetabelle und Graph:
| x | -2,5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| f(x) | -6,125 | 0 | 4 | 3,375 | 2 | 0,625 | 0 | 4 | 10,125 |
Graph:
~plot~ x^3-3x+2;[[-4|4|-3|5]] ~plot~
1.3 Extrempunkte:
Hochpunkt bei (-1|4)
Tiefpunkt bei (1|0)
Wendepunkt bei (0|2)
1.4 Monotonie- und Krümmungsintervalle
Monoton steigend \( ]∞,~ -1] \)
Monoton fallend \( [-1,~ 1] \)
Monoton steigend \( [1,~ ∞[ \)
Rechtskrümmung \( ]∞,~ 0] \)
Linkskrümmung \( [0,~ ∞[ \)
\( f(x) = x^3 - 3x^2 \)
1.1 Eigenschaften der Polynomfunktion
\( f(x) = x^3 - 3x^2 \)
→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ \( S_y (0|0) \)
→ Nullstelle berechnen:
\(
f(x) = x^3 - 3x^2 = 0
\\
x^2·(x - 3) = 0
\)
Demnach \( x_{N1,2} = 0 \) (doppelte Nullstelle)
sowie \( x_{N3} = 3 \) (einfache Nullstelle)
Faktordarstellung:
\(
f(x) = (x-0)^2·(x-3) = x^2·(x-3)
\)
Nullstellen:
\( x_{N1,2} = 0 \) (doppelte Nullstelle)
\( x_{N3} = 3 \) (einfache Nullstelle)
1.2 Wertetabelle und Graph:
| x | -2,5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 2 | 2,5 |
| f(x) | -34,375 | -20 | -4 | -0,875 | 0 | -0,625 | -2 | -4 | -3,125 |
Graph:
~plot~ x^3-3x^2;[[-2|4|-5|5]] ~plot~
1.3 Extrempunkte:
Hochpunkt bei (0|0)
Tiefpunkt bei (2|-4)
Wendepunkt bei (1|-2)
1.4 Monotonie- und Krümmungsintervalle
Monoton steigend \( ]∞,~ 0] \)
Monoton fallend \( [0,~ 2[ \)
Monoton steigend \( [2,~ ∞[ \)
Rechtskrümmung \( ]∞,~ 1] \)
Linkskrümmung \( [1,~ ∞[ \)
\( f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 \)
1.1 Eigenschaften der Polynomfunktion
\( f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 \)
→ keine Symmetrie, da gerade und ungerade Exponenten
→ \( S_y (0|0) \)
→ Nullstelle berechnen:
\(
f(x) = x^4 - 8x^3 + 18x^2 = 0
\\
x^2 · (x^2 - 8x + 18) = 0
\)
Demnach \( x_{N1,2} = 0 \) (doppelte Nullstelle)
sowie lösen von \( x^2 - 8x + 18 \):
\(
x_{N3,4} = -( \frac{8}{2} ) \pm \sqrt{ ( \frac{-8}{2} )^{2} - 18}
\\
x_{N3,4} = 4 \pm \sqrt{-2} = \text{ nicht l}\ddot{o}\text{sbar }
\)
→ hier keine Nullstelle
Faktordarstellung:
\(
f(x) = x^2·(x^2 -8x + 18)
\)
Nullstellen:
\( x_{N1,2} = 0 \)
1.2 Wertetabelle und Graph:
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| f(x) | 459 | 152 | 27 | 0 | 11 | 24 | 27 | 32 |
Graph:
~plot~ x^4-8x^3+18x^2;[[-2|5|-2|30]] ~plot~
1.3 Extrempunkte:
kein Hochpunk
Tiefpunkt bei (0|0)
Wendepunkt bei ca. (1|11)
1.4 Monotonie- und Krümmungsintervalle
Monoton fallend \( ]∞,~ 0] \)
Monoton steigend \( [0,~ ∞[ \)
Linkskrümmung \( ]∞,~ 0] \)
Rechtskrümmung \( [0,~ ∞[ \)