AB: Gemischte Rechenaufgaben V
I. Rechnen mit Brüchen
Berechnen Sie die folgenden Brüche.
\( \frac{4}{9} \cdot \frac{14}{5}+\frac{8}{5}: \frac{2}{3} \)
\( \begin{aligned} \frac{4}{9} \cdot \frac{14}{5}+\frac{8}{5}: \frac{2}{3} &=\frac{56}{45}+\frac{12}{5} \\ &=\frac{56}{45}+\frac{108}{45} \\ &=\frac{164}{45} \end{aligned} \)
\( \frac{3}{4}-\frac{5}{2}: \frac{7}{10}+\frac{5}{8} \)
\( \begin{aligned} \frac{3}{4}-\frac{5}{2}: \frac{7}{10}+\frac{5}{8} &=\frac{3}{4}-\frac{25}{7}+\frac{5}{8} \\ &= \frac{42}{56}-\frac{200}{56}+\frac{35}{56} \\ &= -\frac{123}{56} \end{aligned} \)
\( \frac{3}{11} + \frac{5}{4}: \frac{7}{8} \cdot \frac{13}{3} \)
\( \begin{aligned} \frac{3}{11}+\frac{5}{4}: \frac{7}{8} \cdot \frac{13}{3} &=\frac{3}{11}+\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{11}{3} \\ &=\frac{3}{11}+\frac{130}{21} \\ &=\frac{63}{231}+\frac{1430}{231} \\ &=\frac{1493}{231} \end{aligned} \)
II. Binomische Formeln
Lösen Sie mit Hilfe der binomischen Formeln.
\( (4a + 7b)^2 \)
\( (4 a+7 b)^{2} = 16 a^{2}+56 a b+49 b^{2} \)
\( (3x - 5y)^2 \)
\( (3 x-5 y)^{2}=9 x^{2}-30 x y+25 y^{2} \)
\( (2s + 11t)(2s - 11t) \)
\( (2 s+11 t)(2 s-11 t)=4 s^{2} - 121 t^{2} \)
III. Quadratische Ergänzung
Formen Sie folgende mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in eine Summe mit Binom um.
Beispiel:
\( \begin{aligned} & \quad \; \, a^2 - 2·b·a + \, b^2 \\ & \quad \; \uparrow \;\;\quad\uparrow\;\;\;\uparrow\;\;\;\uparrow \;\quad\uparrow \; & \\ x^2 + 8x - 9 & = \underbrace{ x^2 - 2·4·x \textcolor{#F00}{ + 4^2 } }_{(x-4)^{2}} ~ \underbrace{ \textcolor{#F00}{-4^2} - 9 }_{-25} \\ & = (x - 4)^2 - 25 \end{aligned} \)
\( x^2 +6x -10 \)
\( \begin{aligned} x^{2}+6 x-10 &=x^{2}+2 \cdot 3 \cdot x+3^{2}-\underbrace{3^{2}-10}_{-19} \\ &=(x+3)^{2}-19 \end{aligned} \)
\( x^2 - 10x +4 \)
\( \begin{aligned} x^{2}-10 x+4 &=x^{2}-2 \cdot 5 \cdot x+5^{2} \underbrace{-5^{2}+4}_{-21} \\ &=(x-5)^{2} \cdot 21 \end{aligned} \)
\( x^2 - 15x + 19 \)
\( \begin{aligned} x^{2}+15 x+15 &=x^{2}+2 \cdot 7,5 \cdot x+7,5^{2}-\underbrace{7,5^{2}+19}_{-37,25} \\ &=(x+7,5)^{2}-37,25 \end{aligned} \)