AB: Gemischte Rechenaufgaben VII
I. Rechnen mit Brüchen
Berechnen Sie die folgenden Brüche.
\( \frac{1}{2}-\frac{3}{11} \cdot \frac{5}{6} \)
\( \frac{1}{2}-\frac{3}{11} \cdot \frac{5}{6}=\frac{1}{2}-\frac{5}{22}=\frac{11}{22}-\frac{5}{22}=\frac{6}{22}=\frac{3}{11} \)
\( \frac{2}{7} \cdot \frac{21}{38}+\frac{11}{8}: \frac{330}{468} \)
\( \frac{ \cancel{2}^{~ 1}}{ \cancel{7}_{~ 1} } · \frac{ \cancel{21}^{~ 3} }{ \cancel{38}_{~ 19} } + \frac{11}{8} : \frac{330}{468} \\ = \frac{3}{19} + \frac{ \cancel{11}^{~ 1} }{ \cancel{8}_{~ 2} } · \frac{ \cancel{468}^{~ 117} }{ \cancel{330}_{~ 30} } \\ = \frac{3}{19} + \frac{117}{60} \\ = \frac{180}{1140} + \frac{2223}{1140} \\ = \frac{2403}{1140} \\ = \frac{801}{380} \)
\( -\left(-\frac{3}{4}-\left(2 \frac{5}{8}\right)+1 \frac{1}{8}\right)-\left(3 \frac{1}{3}-5 \frac{3}{4}\right) \)
\( -\left[-\frac{3}{4}-\left(2 \frac{5}{8}\right)+1 \frac{1}{8}\right]-\left(3 \frac{1}{3}-5 \frac{3}{4}\right) \\ = -\left(-\frac{3}{4}-\frac{21}{8}+\frac{9}{8}\right)-\left(\frac{10}{3}-\frac{23}{4}\right) \\ =-\left(-\frac{6}{8}-\frac{21}{8}+\frac{9}{8}\right)-\left(\frac{40}{12}-\frac{69}{12}\right) \\ =-\left(-\frac{18}{8}\right)-\left(-\frac{29}{12}\right) \\ =+\frac{9}{4}+\frac{29}{12}=\frac{27}{12}+\frac{29}{12}=\frac{56}{12}=\frac{14}{3} \)
II. Substituieren (Ersetzen)
Führen Sie die Substitutionen durch.
| Term | Ersetzen von … durch z | Neuer Term | |
| Bsp. | \( 2x^4 + 8x^2 - 14 \) | \( x^2 = z \) | \( 2z^2 + 8z - 14 \) |
| a) | \( -3 x^{4}+5 x^{2}-17 \) | \( x^2 = z \) | \( -3z^2 + 5z - 17 \) |
| b) | \( 12 x^{6}+x^{3}-10 \) | \( x^3 = z \) | \( 12z^2 + z - 10 \) |
| c) | \( \frac{1}{2} a^{3}+\frac{2}{3} a^{4}-8,5 \) | \( a^4 = z \) | \( \frac{1}{2} z^2 + \frac{2}{3} z - 8,5 \) |
| d) | \( s^{12}-4 s^{9}+2 s^{6}+3 s^{3} \) | \( s^3 = z \) | \( z^4 - 4z^3 + 2z^2 + 3z \) |
III. Ausklammern
Gegeben ist der Summenterm \( 24 x^{2} y-36 x y^{2} \)
1. Schritt: Gesucht wird der „umfangreichste“ gemeinsame Faktor in beiden Summanden.
\( \left.\begin{array}{l}24 x x y \\ -36 x y y\end{array}\right\} 12 x y \)
2. Schritt: Es wird überlegt, mit welchem Term der gemeinsame Faktor jeweils multipliziert werden muss, um die beiden Summanden zu erhalten.
\( 12xy \textcolor{#00F}{·2x} = 24x^2y \\ 12xy \textcolor{#00F}{·(-3y)} = 36xy^2 \)
3. Schritt: Der gegebene Summenterm wird als Produktterm geschrieben.
\( 24 x^2 y - 36 x y^2 = 12 xy (2x - 3y) \)
Bei ausreichender Übung kann man meist sofort den 3. Schritt notieren. Es ist natürlich möglich und ggf. nützlich, weniger auszuklammern. Auch hinsichtlich des Vorzeichens gibt es jeweils zwei Möglichkeiten.
Beispiele:
\( \begin{aligned} 24 x^2 y - 36 x y^2 &= 6 x\left(4 x y-6 y^{2}\right) \\ &= -6 x\left(-4 x y+6 y^{2}\right) \\ &= 4\left(6 x^{2} y-9 x y^{2}\right) \\ &= -y\left(-24 x^{2}+36 x y\right) \end{aligned} \)
Aufgabe: Klammern Sie den größtmöglichen Faktor aus. Vereinfachen Sie, wenn möglich, vorher.
\( 24 a^{3} z^{2}-36 a^{2} z^{3}+144 a^{2} z^{2} \)
\( 24 a^{3} z^{2}-36 a^{2} z^{3}+144 a^{2} z^{2} \\ =12 a^2 z^{2 } +(2 \cdot a-3 z+12) \)
\( 14 x^{3} y^{2} z^{4}-28 x^{4} y^{5} z \)
\( 14 x^{3} y^{2} z^{4}-28 x^{4} y^{5} z = 14 x^{3} y^{2} z\left(z^{3}-2 x y^{3} \right) \)
\( 16 a \cdot(-5 b)-10 b \cdot 24 a \)
\( \begin{aligned} 16 a \cdot(-5 b)-10 b \cdot 24 a &=-4 a 5 b(4+2 \cdot 6) \\ &=-20 a b \cdot 16 \\ &= - 320 a b \end{aligned} \)
\( \frac{4}{3} a^{4}-\frac{5}{6} a^{3}+\frac{7}{12} a^{2} \)
\( \frac{4}{3} a^{4}-\frac{5}{6 a}+\frac{7}{12} a^{2}=\frac{2}{3} a^{2} \cdot\left(2 a^{2}-\frac{5}{4} a+\frac{7}{8}\right) \)
\( 4,5 a^{5} b^{4}-2,5 a^{2} b^{8}+0,5 a^{3} b^{5} \)
\( 4,5 a^{5} b^{4}-2,5 a^{2} b^{8}+0,5 a^{3} b^{5} \\ = 0,5 a^{2} b^{4} \cdot\left(9 a^{3}-5 b^{4}+a b\right) \)
\( 10 x^{2} \cdot\left(\frac{3}{5} y^{4}\right)-16 x y^{3} \cdot \frac{5}{8} x^{2} \)
\( 10 x^{2} \cdot\left(\frac{3}{5} y^{4}\right)-16 x y^{3} \cdot \frac{5}{8} x^{2} \\ = 6 x^{2} y^{4}-10 x^{3} y^{3} \\ = 2 x^{2} y^{3} \cdot(3 y-5 x) \)