AB: Lektion Sinussatz und Kosinussatz
Nachfolgend findest du Aufgaben zur Lektion „Sinussatz und Kosinussatz“, mit denen du dein Wissen testen kannst.
Beantworte die folgenden Verständnisfragen:
Bei welchen Dreiecken kann der Sinussatz verwendet werden?
Der Sinussatz kann bei beliebigen Dreiecken angewendet werden.
Bei welchen Dreiecken kann der Kosinussatz verwendet werden?
Der Kosinussatz kann bei beliebigen Dreiecken angewendet werden.
Benenne den Sinussatz.
$$ \frac{a}{\sin{α}} = \frac{b}{\sin{β}} = \frac{c}{\sin{γ}} $$
Nenne einen der drei Fälle des Kosinussatzes.
a² = b² + c² - 2·b·c·cos(α)
b² = a² + c² - 2·a·c·cos(β)
c² = a² + b² - 2·a·b·cos(γ)
Wie wird der Spezialfall des Kosinussatzes bezeichnet? Bei welcher Art von Dreiecken findet er Verwendung?
Für den Winkel 90° entfällt der letzte Summand, da cos(90°) = 0 und wir haben den Satz des Pythagoras. Wegen des 90°-Winkels können wir diesen in rechtwinkligen Dreiecken verwenden.
Berechne die gesuchten Seiten bei den allgemeinen Dreiecken:
Gegeben: α = 30°, γ = 55°, c = 5. Gesucht: a, b
Es sind zwei Winkel gegeben. Der Sinussatz kommt zum Einsatz:
\( \frac{a}{sin(α)} = \frac{c}{sin(γ)} → a = \frac{c}{sin(γ)}·sin(α) = 3,052 \)
Über die Innenwinkelsumme ergibt sich β = 180° - 30° - 55° = 95°
Wiederum den Sinussatz bemüht und man erhält b = 6,081
Gegeben: α = 60°, β = 23°, b = 5. Gesucht: a, c
\( \frac{a}{sin(α)} = \frac{b}{sin(β)} → a = \frac{b}{sin(β)}·sin(α) = 11,082 \)
Über die Innenwinkelsumme ergibt sich γ = 180° - 60° - 23° = 97°
Wiederum den Sinussatz bemüht und man erhält c = 12,701
Gegeben: β = 30°, a = 4, c = 2. Gesucht: b
Wir haben zwei Seiten und nur einen Winkel gegeben. Der Kosinussatz kommt zum Einsatz.
b2 = a2 + c2 - 2·a·c·cos(β) |Werte einsetzen und Wurzel ziehen
b = 2,479
Gegeben: γ = 20°, a = 4, b = 7. Gesucht: c
c2 = a2 + b2 - 2·a·b·cos(γ)
c = 3,518
Gegeben: α = 50°, b = 3, c = 2. Gesucht: a
a2 = b2 + c2 - 2·b·c·cos(α)
a = 2,299